Questão 13 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

O desfibrilador é um equipamento com fim terapêutico que visa à reversão das arritmias cardíacas pela aplicação de um pulso de corrente elétrica de grande amplitude num pequeno intervalo de tempo, a qual é liberada pela descarga de um capacitor. O desfibrilador pode ser modelado por um circuito RC, no qual um capacitor de capacitância C é conectado a um resistor de resistência R. O gráfico mostra a descarga de três circuitos RC, um deles o de referência. Os capacitores têm capacitâncias C=200\text{ }\text{µF} e estão carregados inicialmente com uma carga Q_0 . O processo de descarga do capacitor é descrito pela equação Q(t)=Q_0\text{exp}(-t/T) , onde T=RC é um tempo característico de cada circuito.

Gráfico cartesiano de Q(t)/Q0 versus t (ms). O eixo vertical vai de 0 a 1, com divisões a cada 0,1. O eixo horizontal vai de 0 a 5 ms, com divisões a cada 1 ms. Estão representadas três curvas decrescentes que partem de (0, 1): Circuito 1 (linha pontilhada, decaimento mais rápido), Circuito de Ref. (linha contínua, decaimento intermediário) e Circuito 2 (linha traço-ponto, decaimento mais lento).

Considerando os dados apresentados, calcule:

a) o valor, em ohm, das resistências R_{Ref} , R_1 e R_2 , sabendo que o tempo característico do circuito de referência é 1,24 ms;
(2,5 pontos)

b) o percentual da energia dissipada no resistor do circuito de referência, (|\Delta E|/E_0)\times 100 , entre os instantes t=0 e t=2\text{ ms}.
(2,5 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2010

1º semestre · 1º dia · Física: Capacitores

O desfibrilador é um equipamento com fim terapêutico que visa à reversão das arritmias cardíacas pela aplicação de um pulso de corrente elétrica de grande amplitude num pequeno intervalo de tempo, a qual é liberada pela descarga de um capacitor. O desfibrilador pode ser modelado por um circuito RC, no qual um capacitor de capacitância C é conectado a um resistor de resistência R. O gráfico mostra a descarga de três circuitos RC, um deles o de referência. Os capacitores têm capacitâncias C=200\text{ }\text{µF} e estão carregados inicialmente com uma carga Q_0 . O processo de descarga do capacitor é descrito pela equação Q(t)=Q_0\text{exp}(-t/T) , onde T=RC é um tempo característico de cada circuito.

Gráfico cartesiano de Q(t)/Q0 versus t (ms). O eixo vertical vai de 0 a 1, com divisões a cada 0,1. O eixo horizontal vai de 0 a 5 ms, com divisões a cada 1 ms. Estão representadas três curvas decrescentes que partem de (0, 1): Circuito 1 (linha pontilhada, decaimento mais rápido), Circuito de Ref. (linha contínua, decaimento intermediário) e Circuito 2 (linha traço-ponto, decaimento mais lento).

Considerando os dados apresentados, calcule:

a) o valor, em ohm, das resistências R_{Ref} , R_1 e R_2 , sabendo que o tempo característico do circuito de referência é 1,24 ms;
(2,5 pontos)

b) o percentual da energia dissipada no resistor do circuito de referência, (|\Delta E|/E_0)\times 100 , entre os instantes t=0 e t=2\text{ ms}.
(2,5 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a)

R_{\text{ref}} = \frac{1{,}24 \times 10^{-3}}{200 \times 10^{-6}} = 6{,}2\ \Omega

Do gráfico temos que: \frac{Q}{Q_0} = 0{,}2 = e^{\frac{-t_1}{R_1 C}} = e^{\frac{-t_{\text{ref}}}{R_{\text{ref}} C}} = e^{\frac{-t_2}{R_2 C}} \rightarrow \frac{1 \times 10^{-3}}{R_1 C} = \frac{2 \times 10^{-3}}{R_{\text{ref}} C} = \frac{3 \times 10^{-3}}{R_2 C}

\frac{1}{R_1} = \frac{2}{R_{\text{ref}}} = \frac{3}{R_2} \rightarrow R_1 = 3{,}1\ \Omega \quad \text{e} \quad R_2 = 9{,}3\ \Omega (2,5 pontos)

b)
Como E(t) = \frac{Q^2(t)}{2C} = \frac{Q_0^2 e^{-2t/T_{\text{Ref}}}}{2C} = E_0 e^{-2t/T_{\text{Ref}}} com T_{\text{Ref}} = R_{\text{Ref}} C = 1{,}24\ \text{ms}

\frac{\Delta E}{E_0} = \frac{E(t_f) - E(t_0)}{E_0} = \frac{E(t_f) - E(0)}{E_0} = \frac{E(t_f) - E_0}{E_0} = \frac{E(t_f)}{E_0} - 1 = \left(\frac{Q(t_f)}{Q(0)}\right)^2 - 1 = e^{-2t_f/T_{\text{ref}}} - 1

Para t_f = 2{,}0\ \text{ms} temos do gráfico que \frac{Q(t_f)}{Q_0} = e^{-t_f/T_{\text{Ref}}} = 0{,}2 , logo \frac{\Delta E}{E_0} = 0{,}2^2 - 1 = -0{,}96 .

Portanto \frac{|\Delta E|}{E_0} \times 100 = 96\ \% (2,5 pontos)

Critério de correção

Atendeu plenamente ao que foi solicitado no item A a resposta do candidato que calculou corretamente a resistência de referência R_{\text{ref}} e interpretou corretamente o gráfico, observando que no ponto em que as razões Q(t_1)/Q_0 = Q(t_{\text{ref}})/Q_0 = Q(t_2)/Q_0 = 0.2 são iguais, como a função é a mesma pois Q(t)/Q_0 = \exp(t/T) , então necessariamente o argumento das três funções exponencial devem ser iguais e com isso calculou corretamente as resistências R_1 e R_2 . Cada etapa do desenvolvimento foi pontuada independentemente. Repostas com a unidade errada ou sem unidade e os erros matemáticos foram pontuados parcialmente.

Atendeu plenamente ao que foi solicitado no item B a resposta do candidato que apresentou corretamente o cálculo do percentual de energia dissipada no resistor do circuito de referência no intervalo de tempo de 2 ms. Cada etapa do desenvolvimento foi pontuada independentemente. Repostas com a unidade errada ou sem unidade e os erros matemáticos foram pontuados parcialmente.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O tempo característico vem de T=RC, então R=T/C. Para achar T de cada circuito, leio no gráfico o instante em que Q/Q_0 vale 0{,}2. Nesse ponto e^{-t/T}=0{,}2, ou seja, t/T=\ln 5\approx 1{,}61.

Referência: T_{Ref}=1{,}24\ \text{ms} (dado). A curva passa por 0{,}2 em t=2\ \text{ms}, e 2/1{,}24\approx1{,}61, o que confirma a leitura.
Circuito 1: Q/Q_0=0{,}2 em t=1\ \text{ms}, logo T_1=1/1{,}61\approx0{,}62\ \text{ms}, metade de T_{Ref}.
Circuito 2: Q/Q_0=0{,}2 em t=3\ \text{ms}, logo T_2=3/1{,}61\approx1{,}86\ \text{ms}, que é 1{,}5\,T_{Ref}.

Com C=200\ \text{µF}=2\times10^{-4}\ \text{F}:

R_{Ref}=\frac{1{,}24\times10^{-3}}{2\times10^{-4}}=6{,}2\ \Omega,\quad R_1=\frac{0{,}62\times10^{-3}}{2\times10^{-4}}=3{,}1\ \Omega,\quad R_2=\frac{1{,}86\times10^{-3}}{2\times10^{-4}}=9{,}3\ \Omega

R_{Ref}=6{,}2\ \Omega, R_1=3{,}1\ \Omega e R_2=9{,}3\ \Omega.

b) A energia armazenada no capacitor é E=\dfrac{Q^2}{2C}, proporcional a Q^2. Logo

\frac{E(t)}{E_0}=\left(\frac{Q(t)}{Q_0}\right)^2

No circuito de referência, em t=2\ \text{ms}, o gráfico dá Q/Q_0=0{,}2. Então E/E_0=0{,}2^2=0{,}04, ou seja, restam 4% da energia no capacitor.

A energia perdida foi dissipada no resistor:

\frac{|\Delta E|}{E_0}=1-0{,}04=0{,}96

Percentual dissipado: 96%.

Assuntos: Capacitores, Resistência elétrica e leis de Ohm.

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Questão 13 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗