Questão 12 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

Question

As “Regras Oficiais de Voleibol”, aprovadas pela Federação Internacional de Voleibol (FIVB), definem que a quadra para a prática desse esporte deve ser retangular, medindo 18 m de comprimento por 9 m de largura. A rede, colocada verticalmente sobre a linha central da quadra, deve ter uma altura de 2,43 m para jogos profissionais masculinos. Em cada campo da quadra há uma linha de ataque, desenhada a 3 m de distância da linha central, marcando a zona de frente, conforme a figura a seguir.

Durante um jogo profissional masculino, um jogador fez um ponto do seguinte modo: estando sobre a linha de ataque de seu campo, saltou verticalmente batendo na bola no ponto H, fazendo-a descrever uma trajetória retilínea, passando rente ao topo da rede, no ponto R, tocando a quadra exatamente num ponto B, pertencente à linha de fundo do campo adversário.

Perspectiva da quadra de voleibol indicando as medidas de comprimento (18 m no total, com 9 m da linha de fundo até a rede e 3 m da rede até a linha de ataque) e largura (9 m). O ponto B está na linha de fundo adversária, o ponto A na linha de ataque, e o ponto H verticalmente acima de A. O segmento tracejado BH intercepta o topo da rede no ponto R.

Segundo as condições descritas, calcule a altura, AH, que o jogador alcançou para conseguir fazer o ponto.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2010

1º semestre · 2º dia · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

As “Regras Oficiais de Voleibol”, aprovadas pela Federação Internacional de Voleibol (FIVB), definem que a quadra para a prática desse esporte deve ser retangular, medindo 18 m de comprimento por 9 m de largura. A rede, colocada verticalmente sobre a linha central da quadra, deve ter uma altura de 2,43 m para jogos profissionais masculinos. Em cada campo da quadra há uma linha de ataque, desenhada a 3 m de distância da linha central, marcando a zona de frente, conforme a figura a seguir.

Durante um jogo profissional masculino, um jogador fez um ponto do seguinte modo: estando sobre a linha de ataque de seu campo, saltou verticalmente batendo na bola no ponto H, fazendo-a descrever uma trajetória retilínea, passando rente ao topo da rede, no ponto R, tocando a quadra exatamente num ponto B, pertencente à linha de fundo do campo adversário.

Perspectiva da quadra de voleibol indicando as medidas de comprimento (18 m no total, com 9 m da linha de fundo até a rede e 3 m da rede até a linha de ataque) e largura (9 m). O ponto B está na linha de fundo adversária, o ponto A na linha de ataque, e o ponto H verticalmente acima de A. O segmento tracejado BH intercepta o topo da rede no ponto R.

Segundo as condições descritas, calcule a altura, AH, que o jogador alcançou para conseguir fazer o ponto.

(5,0 pontos)

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

[Figura: Esquema geométrico com o ponto B à esquerda, o segmento horizontal AB contendo o ponto D; acima de AB, os segmentos verticais DR e AH perpendiculares a AB e a hipotenusa que liga B, R e H; abaixo de AB, o segmento BC contendo o ponto E, com medidas BE = 9\text{ m} e EC = 3\text{ m}, e os segmentos perpendiculares a BC: DE rotulado como "Linha central" e AC rotulado como "Linha de ataque".]

Considere o triângulo ABC, formado pelo segmento BC que é paralelo à linha lateral da quadra, pelo segmento AC, que está sobre a linha de ataque, e pelo segmento AB.

Assim, nos triângulos ABH e DBR, por semelhança, temos:

\frac{\overline{AH}}{\overline{DR}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{DB}} \Rightarrow \frac{\overline{AH}}{2{,}43} = \frac{\overline{AB}}{\overline{DB}}

Nos triângulos ABC e DBE, por semelhança, temos:

\frac{\overline{AB}}{\overline{DB}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{BE}} \Rightarrow \frac{\overline{AB}}{\overline{DB}} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}

Com essas duas semelhanças, temos que:

\frac{\overline{AH}}{2{,}43} = \frac{4}{3} \Rightarrow \overline{AH} = 3{,}24\text{ m}

Portanto, a altura que o jogador alcançou para conseguir fazer o ponto foi de 3,24 m. (5,0 pontos)

Critérios de correção

A resposta atendeu plenamente ao que foi solicitado quando o candidato interpretou corretamente o problema, identificou corretamente os triângulos semelhantes na representação da situação e utilizou corretamente essas informações para calcular a altura solicitada. Cada etapa do desenvolvimento matemático foi pontuada independentemente. Respostas parciais foram consideradas, com pontuação proporcional ao seu desenvolvimento. Respostas equivalentes foram consideradas.

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Os pontos B, R e H estão alinhados, e H está na vertical de A. Logo, B, A, H e R ficam todos no mesmo plano vertical, e o triângulo BAH é retângulo em A.

Seja R' o pé da perpendicular baixada de R ao chão. Como a rede é vertical e está sobre a linha central, R' está na linha central e também no segmento AB. Além disso, RR' = 2{,}43\ \text{m}.

As linhas de fundo, central e de ataque são paralelas. Pelo teorema de Tales, a razão entre as distâncias medidas ao longo de AB é a mesma que entre as distâncias entre essas linhas:

\frac{BR'}{BA}=\frac{9}{9+3}=\frac{3}{4}

Isso vale qualquer que seja a posição lateral de A e de B, então a largura de 9 m não influencia o cálculo.

Os triângulos BR'R e BAH são semelhantes, pois têm o ângulo reto em R' e em A e o ângulo em B em comum. Assim:

\frac{RR'}{AH}=\frac{BR'}{BA}\;\Rightarrow\;\frac{2{,}43}{AH}=\frac{3}{4}

AH=\frac{4\cdot 2{,}43}{3}=4\cdot 0{,}81=3{,}24\ \text{m}

AH = 3{,}24\ \text{m}

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 12 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2010

Fonte: UFG 2ª etapa 2010 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗