Questão 6 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

Segundo a Teoria da Relatividade Restrita de Albert Einstein, o tempo transcorre de maneira diferente para observadores com velocidades diferentes. Isso significa que, para um observador em um referencial fixo, transcorre um intervalo de tempo \Delta t entre dois eventos, enquanto para um observador em um referencial que viaja com uma velocidade constante v, em relação ao referencial anterior, o intervalo de tempo entre os mesmos eventos será \Delta t'. Os dois intervalos de tempo estão relacionados por

\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}},

que representa uma dilatação temporal. Nesta expressão, c é a velocidade da luz no vácuo. Com esta teoria surge o paradoxo dos gêmeos: para o piloto de uma espaçonave que realizou uma viagem espacial, com uma velocidade constante de 0,8c, transcorreram 18 anos até o seu retorno à Terra. Para o gêmeo que ficou na Terra, calcule quanto tempo durou a viagem do seu irmão, o piloto.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

2º semestre · 2º dia · Física: Relatividade restrita

Segundo a Teoria da Relatividade Restrita de Albert Einstein, o tempo transcorre de maneira diferente para observadores com velocidades diferentes. Isso significa que, para um observador em um referencial fixo, transcorre um intervalo de tempo \Delta t entre dois eventos, enquanto para um observador em um referencial que viaja com uma velocidade constante v, em relação ao referencial anterior, o intervalo de tempo entre os mesmos eventos será \Delta t'. Os dois intervalos de tempo estão relacionados por

\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}},

que representa uma dilatação temporal. Nesta expressão, c é a velocidade da luz no vácuo. Com esta teoria surge o paradoxo dos gêmeos: para o piloto de uma espaçonave que realizou uma viagem espacial, com uma velocidade constante de 0,8c, transcorreram 18 anos até o seu retorno à Terra. Para o gêmeo que ficou na Terra, calcule quanto tempo durou a viagem do seu irmão, o piloto.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}} \text{ como } v = 0{,}8\,c \text{ e } \Delta t' = 18\ \text{anos}

então

\Delta t = \frac{18}{\sqrt{1 - (0{,}8)^2}} = \frac{18}{\sqrt{1 - 0{,}64}} = \frac{18}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{18}{0{,}6} = 10 \times \frac{18}{6} = 30\ \text{anos} \qquad \text{(5,0 pontos)}

Critério de correção:

Atendeu plenamente ao que foi solicitado na questão a resposta do candidato que apresentou corretamente o cálculo do tempo transcorrido para o gêmeo que ficou na Terra. Cada etapa do desenvolvimento foi pontuada independentemente. Respostas com a unidade errada ou com erros matemáticos foram pontuadas parcialmente.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O piloto está na espaçonave, que se move com velocidade constante v = 0{,}8c em relação à Terra. Por isso, o tempo medido por ele, \Delta t' = 18 anos, é o intervalo do referencial que viaja. O gêmeo na Terra mede \Delta t, o intervalo do referencial fixo, e a fórmula do enunciado já relaciona os dois.

Substituindo v/c = 0{,}8:

\left(\dfrac{v}{c}\right)^2 = 0{,}64
1 - 0{,}64 = 0{,}36
\sqrt{0{,}36} = 0{,}6

Logo:

\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}} = \frac{18}{0{,}6} = 30\ \text{anos}

Como o denominador é menor que 1, \Delta t > \Delta t': o tempo no referencial da Terra transcorre mais que o do piloto, ou seja, o piloto envelhece menos que o irmão. Para o gêmeo que ficou na Terra, a viagem durou 30 anos.

Resposta: 30 anos.

Assunto: Relatividade restrita.

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Questão 6 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗