Questão 3 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

Sabe-se que a razão entre o período da Terra (\text{T}_{\text{T}}) e o de Mercúrio (\text{T}_{\text{M}}), em torno do Sol, é da ordem de 4. Considere que os planetas Terra e Mercúrio estão em órbitas circulares em torno do Sol, em um mesmo plano. Nessas condições,

a) qual é, em meses, o tempo mínimo entre dois alinhamentos consecutivos dos dois planetas com o Sol? (3,0 pontos)

b) Qual é, em graus, o ângulo que a Terra terá percorrido nesse intervalo de tempo? (2,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (1º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

1º semestre · 2º dia · Física: Movimento circular uniforme e transmissão de movimento

Sabe-se que a razão entre o período da Terra (\text{T}_{\text{T}}) e o de Mercúrio (\text{T}_{\text{M}}), em torno do Sol, é da ordem de 4. Considere que os planetas Terra e Mercúrio estão em órbitas circulares em torno do Sol, em um mesmo plano. Nessas condições,

a) qual é, em meses, o tempo mínimo entre dois alinhamentos consecutivos dos dois planetas com o Sol? (3,0 pontos)

b) Qual é, em graus, o ângulo que a Terra terá percorrido nesse intervalo de tempo? (2,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) \text{T}_{\text{T}}/\text{T}_{\text{M}} = 4

\Delta\Theta = \omega_{\text{M}}\text{t} - \omega_{\text{T}}\text{t} = \text{n}\pi; (2\pi/\text{T}_{\text{M}} - 2\pi/\text{T}_{\text{T}} ) \text{t} = \text{n}\pi ; 2\text{t} = (\text{T}_{\text{M}}\text{T}_{\text{T}})/(\text{T}_{\text{M}} - \text{T}_{\text{T}} ) \text{n} = \text{T}_{\text{T}}/(\text{T}_{\text{T}}/\text{T}_{\text{M}} - 1) \text{n} \Rightarrow

2\text{t} = (\text{n}\text{T}_{\text{T}})/(4 - 1) \Rightarrow \text{t} = \text{n}\text{T}_{\text{T}}/6

Para \text{n}=1 \Rightarrow \text{t} = 12\text{ meses}/6 \Rightarrow \text{t} = 2\text{ meses}
ou
Para \text{n}=2 \Rightarrow \text{t} = 12\text{ meses}/3 \Rightarrow \text{t} = 4\text{ meses} (3,0 pontos)

Critério de correção:

Desenvolvimentos parciais foram considerados, pontuando-se cada etapa individualmente. Outras formas matematicamente consistentes foram consideradas.

b) \Delta\Theta_{\text{T}} = \omega_{\text{T}}\text{t} = (\text{n}\pi/\text{T}_{\text{T}} )(\text{T}_{\text{T}}/3) = \text{n}\pi/3

Para \text{n}=1 \Rightarrow \Delta\Theta_{\text{T}} = 60^\circ
ou
Para \text{n}=2 \Rightarrow \Delta\Theta_{\text{T}} = 120^\circ (2,0 pontos)

Critério de correção:

Desenvolvimentos parciais foram considerados, pontuando-se cada etapa individualmente. Outras formas matematicamente consistentes foram consideradas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Com T_T/T_M = 4 e T_T = 12 meses, o período de Mercúrio é T_M = 3 meses.

Os dois planetas estão alinhados com o Sol quando Mercúrio, que é mais rápido, ganha uma volta completa (360^\circ) sobre a Terra. Esse é o período sinódico. As velocidades angulares são:

\omega_M = \frac{360^\circ}{3\ \text{meses}} = 120^\circ/\text{mês}, \qquad \omega_T = \frac{360^\circ}{12\ \text{meses}} = 30^\circ/\text{mês}

O alinhamento seguinte ocorre quando a diferença de ângulos varridos chega a 360^\circ:

(\omega_M-\omega_T)\,t = 360^\circ \Rightarrow 90\,t = 360 \Rightarrow t = 4\ \text{meses}

O mesmo resultado sai de \dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{T_M}-\dfrac{1}{T_T}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{4}.

Considerei como alinhamento a configuração com Mercúrio e a Terra do mesmo lado do Sol, que é a leitura usual da questão.

Tempo mínimo: 4 meses.

b) Nesses 4 meses, a Terra percorre:

\Delta\theta_T = \omega_T\,t = 30^\circ/\text{mês}\cdot 4\ \text{meses} = 120^\circ

Isso equivale a \frac{4}{12}=\frac{1}{3} de volta. Mercúrio, no mesmo tempo, percorre 480^\circ, ou seja, 360^\circ+120^\circ, o que confirma o alinhamento.

Ângulo percorrido pela Terra: 120^\circ.

Assunto: Movimento circular uniforme e transmissão de movimento.

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Questão 3 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 1º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗