Questão 15 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

Um cliente fez um orçamento na página da internet em uma loja de informática, para a compra de cartuchos para impressoras, no valor total de R$ 1.260,00. Em seguida, ele dirigiu-se à loja para tentar obter um desconto e, após negociação, obteve um desconto de R$ 7,50 no preço de cada cartucho, o que lhe possibilitou adquirir mais três cartuchos, pagando o mesmo valor total. Calcule qual foi a quantidade de cartuchos que ele comprou e o preço pago em cada cartucho. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4) da 2ª etapa da UFG 2009

2º semestre · 1º dia · Matemática: Equação do 2º grau

Um cliente fez um orçamento na página da internet em uma loja de informática, para a compra de cartuchos para impressoras, no valor total de R$ 1.260,00. Em seguida, ele dirigiu-se à loja para tentar obter um desconto e, após negociação, obteve um desconto de R$ 7,50 no preço de cada cartucho, o que lhe possibilitou adquirir mais três cartuchos, pagando o mesmo valor total. Calcule qual foi a quantidade de cartuchos que ele comprou e o preço pago em cada cartucho. (5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Considerando n a quantidade de cartuchos comprados, cada um ao preço P, em reais, tem-se que:

n . P = 1.260 \Rightarrow P = \frac{1.260}{n}

Sem o desconto dado após a negociação, tem-se que n e P devem satisfazer a equação:

(n - 3)(P + 7{,}5) = 1.260

Assim, substituindo a primeira equação na segunda, tem-se:

(n - 3)\left(\frac{1.260}{n} + 7{,}5\right) = 1.260 \Rightarrow n^2 - 3n - 504 = 0 \Rightarrow n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 2.016}}{2} = \frac{3 \pm 45}{2} \Rightarrow n = 24 \quad \text{ou}

n = -21

Logo, a quantidade de cartuchos comprada foi n = 24.

Assim, o valor pago em cada cartucho foi P = \frac{1.260}{n} = \frac{1.260}{24} = \text{R\$\ } 52{,}50

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Seja n a quantidade de cartuchos do orçamento e p o preço de cada um, em reais. Então:

np = 1260

Com o desconto de R$ 7,50 em cada cartucho, ele levou n+3 cartuchos pagando o mesmo total:

(n+3)(p-7{,}5) = 1260

Desenvolvendo: np - 7{,}5n + 3p - 22{,}5 = 1260.
Como np = 1260, sobra -7{,}5n + 3p = 22{,}5, ou seja, p = 7{,}5 + 2{,}5n.
Substituindo em np = 1260: n(7{,}5 + 2{,}5n) = 1260, que dividido por 2{,}5 dá n^2 + 3n - 504 = 0.
O discriminante é \Delta = 9 + 2016 = 2025 = 45^2, então n = \dfrac{-3 \pm 45}{2}. Só a raiz positiva serve: n = 21.
O preço do orçamento é p = 7{,}5 + 2{,}5\cdot 21 = 60.

O orçamento era de 21 cartuchos a R$ 60,00. Com a negociação, ele comprou 21+3 = 24 cartuchos, pagando 60 - 7{,}5 = 52{,}50 cada.

Conferindo: 24 \cdot 52{,}5 = 1260. ✔

Ele comprou 24 cartuchos, pagando R$ 52,50 em cada um.

Assunto: Equação do 2º grau.

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Questão 15 no caderno Grupos 3 e 4 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 2º semestre · 1º dia · Grupos 3 e 4. Prova oficial ↗