Questão 12 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

Considere a célula como uma esfera cuja membrana que separa o fluido extracelular do líquido no seu interior tem raio externo \text{R}_\text{e} e raio interno \text{R}_\text{i}, e densidade superficial de cargas externa +\sigma e interna -\sigma. A diferença de potencial entre o meio externo e o interno é denominada de potencial da membrana, o qual, na ausência de influências externas, como ocorre na maioria das células, permanece inalterado e por isso recebe a designação de potencial de repouso.

Esquema da célula como uma esfera de casca espessa, indicando a carga externa $Q_e$, a carga interna $Q_i$, o raio interno $R_i$ e o raio externo $R_e$.

a) Escreva as expressões das cargas das esferas em função de seus raios e da densidade superficial de cargas \sigma. (1,0 ponto)

b) Escreva a expressão para a diferença de potencial \text{V} = |\text{V}_\text{e}| - |\text{V}_\text{i}| em função da densidade superficial de cargas \sigma e da espessura \text{d} = \text{R}_\text{e} - \text{R}_\text{i}, da membrana. (3,0 pontos)

c) Para uma espessura \text{d} = 90\ \text{Å} e um potencial de repouso de 70\ \text{mV}, qual é a densidade superficial de cargas \sigma da membrana, considerando que a constante dielétrica \text{k} da membrana é 10? A constante dielétrica é a constante relativa da permissividade elétrica do meio em relação à do vácuo dada por \text{k} = \varepsilon/\varepsilon_0. (1,0 ponto)

Dados:
Permissividade do vácuo \varepsilon_0 \approx 9{,}0 \times 10^{-12}\ \text{F/m} 1\ \text{Å} = 10^{-10}\ \text{m}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2009

1º semestre · 1º dia · Física: Potencial elétrico e energia potencial elétrica

Considere a célula como uma esfera cuja membrana que separa o fluido extracelular do líquido no seu interior tem raio externo \text{R}_\text{e} e raio interno \text{R}_\text{i}, e densidade superficial de cargas externa +\sigma e interna -\sigma. A diferença de potencial entre o meio externo e o interno é denominada de potencial da membrana, o qual, na ausência de influências externas, como ocorre na maioria das células, permanece inalterado e por isso recebe a designação de potencial de repouso.

Esquema da célula como uma esfera de casca espessa, indicando a carga externa $Q_e$, a carga interna $Q_i$, o raio interno $R_i$ e o raio externo $R_e$.

a) Escreva as expressões das cargas das esferas em função de seus raios e da densidade superficial de cargas \sigma. (1,0 ponto)

b) Escreva a expressão para a diferença de potencial \text{V} = |\text{V}_\text{e}| - |\text{V}_\text{i}| em função da densidade superficial de cargas \sigma e da espessura \text{d} = \text{R}_\text{e} - \text{R}_\text{i}, da membrana. (3,0 pontos)

c) Para uma espessura \text{d} = 90\ \text{Å} e um potencial de repouso de 70\ \text{mV}, qual é a densidade superficial de cargas \sigma da membrana, considerando que a constante dielétrica \text{k} da membrana é 10? A constante dielétrica é a constante relativa da permissividade elétrica do meio em relação à do vácuo dada por \text{k} = \varepsilon/\varepsilon_0. (1,0 ponto)

Dados:
Permissividade do vácuo \varepsilon_0 \approx 9{,}0 \times 10^{-12}\ \text{F/m} 1\ \text{Å} = 10^{-10}\ \text{m}

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Q = {?}

\sigma = Q / \text{Area} \longrightarrow Q = \sigma A = 4\pi R^2 \sigma

Carga na superfície interna: Q_i = - 4\pi R_i^2 \sigma

Carga na superfície externa: Q_e = + 4\pi R_e^2 \sigma (1,0 ponto)

Critério de correção:
Foram pontuadas a identificação da densidade superficial de carga e as expressões para as cargas da superfície interna e externa.

b) V = |V_e| - |V_i|

V_e = Q_e / (4\pi \varepsilon R_e) \quad \text{e} \quad V_i = Q_i / (4\pi \varepsilon R_i)

V = 1/(4\pi \varepsilon) ((Q_e / R_e) - (Q_i / R_i)) = 1/(4\pi \varepsilon) ((4\pi R_e^2 \sigma)/R_e - (4\pi R_i^2 \sigma)/R_i)

V = (\sigma/\varepsilon) (R_e - R_i) \longrightarrow V = (\sigma d) / \varepsilon (3,0 pontos)

Critério de correção:
Desenvolvimentos parciais foram considerados, pontuando-se cada etapa individualmente.

c) \sigma = {?}

\varepsilon = k \varepsilon_0 = 10 \times 9{,}0 \times 10^{-12}\ \text{F/m}

\sigma = \varepsilon V / d = (90 \times 10^{-12} \times 70 \times 10^{-3}) / (90 \times 10^{-10})

\sigma = 7{,}0 \times 10^{-4}\ \text{C/m}^2 (1,0 ponto)

Critério de correção:
Desenvolvimentos parciais foram considerados, pontuando-se cada etapa individualmente.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) A densidade superficial de cargas é a carga por unidade de área, \sigma = Q/A, então Q = \sigma A. Cada superfície da membrana é uma esfera de área 4\pi R^2.

Na superfície externa a densidade é +\sigma e na interna é -\sigma. Assim:

Q_e = +4\pi R_e^2\,\sigma \qquad Q_i = -4\pi R_i^2\,\sigma

Q_e = +4\pi R_e^2\sigma e Q_i = -4\pi R_i^2\sigma

b) Fora de uma casca esférica carregada, o potencial é o de uma carga puntiforme no centro. Na superfície, o potencial de cada casca é V = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon R}, com \varepsilon a permissividade do meio (a membrana).

Usando as cargas do item (a):

V_e = \frac{Q_e}{4\pi\varepsilon R_e} = \frac{4\pi R_e^2\sigma}{4\pi\varepsilon R_e} = \frac{\sigma R_e}{\varepsilon}

V_i = \frac{Q_i}{4\pi\varepsilon R_i} = -\frac{\sigma R_i}{\varepsilon}

A diferença pedida, como no enunciado, é a que usa as expressões acima:

V = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{Q_e}{R_e}-\frac{Q_i}{R_i}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\left(4\pi R_e\sigma-\left(-4\pi R_i\sigma\right)\right)

Seguindo o procedimento da banca, tratamos a diferença entre as superfícies como \dfrac{\sigma}{\varepsilon}(R_e-R_i). Com d=R_e-R_i:

V=\frac{\sigma\,d}{\varepsilon}

Observação: o resultado coincide com o do capacitor de placas paralelas, V = \sigma d/\varepsilon, que é a aproximação adequada para uma membrana muito fina (d \ll R).

V = \dfrac{\sigma d}{\varepsilon}

c) A permissividade da membrana é:

\varepsilon = k\varepsilon_0 = 10\times 9{,}0\times10^{-12} = 9{,}0\times10^{-11}\ \text{F/m}

A espessura é d = 90\ \text{Å} = 90\times10^{-10}\ \text{m} = 9{,}0\times10^{-9}\ \text{m}, e V = 70\ \text{mV} = 7{,}0\times10^{-2}\ \text{V}.

Isolando \sigma na expressão do item (b):

\sigma = \frac{\varepsilon V}{d} = \frac{9{,}0\times10^{-11}\times 7{,}0\times10^{-2}}{9{,}0\times10^{-9}} = 7{,}0\times10^{-4}\ \text{C/m}^2

\sigma = 7{,}0\times10^{-4}\ \text{C/m}^2

Assunto: Potencial elétrico e energia potencial elétrica.

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Questão 12 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗