Questão 1 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

Question

Um pêndulo constituído de uma corda ideal de comprimento \ell e de uma esfera de massa m, executa um movimento harmônico simples entre as alturas h_1 e h_3. Na posição 1, um impulso é aplicado por uma força \mathbf{F} variável perpendicular ao fio, de acordo com o gráfico da figura, em unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI). Despreze a resistência do ar.

a) Após a aplicação do impulso, calcule a altura h_4 atingida pelo pêndulo. Expresse a resposta em função de F_0, t_0, h_1, m e g. (4,0 pontos)

b) Calcule a razão entre os períodos de oscilação antes e após a aplicação do impulso. (1,0 ponto)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (2º semestre · 2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2009

2º semestre · 2º dia · Física: Impulso e quantidade de movimento

Um pêndulo constituído de uma corda ideal de comprimento \ell e de uma esfera de massa m, executa um movimento harmônico simples entre as alturas h_1 e h_3. Na posição 1, um impulso é aplicado por uma força \mathbf{F} variável perpendicular ao fio, de acordo com o gráfico da figura, em unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI). Despreze a resistência do ar.

a) Após a aplicação do impulso, calcule a altura h_4 atingida pelo pêndulo. Expresse a resposta em função de F_0, t_0, h_1, m e g. (4,0 pontos)

b) Calcule a razão entre os períodos de oscilação antes e após a aplicação do impulso. (1,0 ponto)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) \Delta Q = I = F\ \Delta t , que é igual, numericamente, à área sob a curva do gráfico de F \times t

\Delta Q = I = F\ \Delta t = \frac{F_0 t_0}{2} , logo \Delta Q = m v_{1\text{f}} - m v_{1\text{i}} = m v_{1\text{f}} \to v_{1\text{f}} = \frac{F_0 t_0}{2 m}

pós o choque, a energia mecânica na altura h_1 é igual à energia mecânica na altura h_4.

m g h_1 + \frac{1}{2} m v_{1\text{f}}^2 = m g h_4 \to h_4 = h_1 + \frac{F_0^2 t_0^2}{8 m^2 g} (4,0 pontos)

Critério de correção:
Atendeu plenamente ao que foi solicitado no item “a” a resposta do candidato que apresentou corretamente o cálculo da altura na posição 4. Cada etapa do desenvolvimento foi pontuada independentemente. Erros matemáticos foram pontuados parcialmente.

b) O período de um pêndulo é T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} , como o comprimento não varia a razão é 1.

(1,0 pontos)

Critério de correção:
Atendeu plenamente ao que foi solicitado no item “b” a resposta do candidato que apresentou corretamente o cálculo da razão entre os períodos, explicitando a expressão para o período ou sua dependência com o comprimento e com a aceleração da gravidade.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O impulso da força é a área sob o gráfico F\times t. Essa área é um triângulo de base t_0 e altura F_0:

I=\frac{F_0\,t_0}{2}

Na posição 1 o pêndulo está num extremo da oscilação, então sua velocidade é nula. Pelo teorema do impulso, I=\Delta Q = m v-0, e a velocidade logo após o impulso é:

v=\frac{F_0\,t_0}{2m}

Depois do impulso só o peso realiza trabalho, pois a tração é perpendicular ao deslocamento e não há resistência do ar. A energia mecânica se conserva entre a posição 1 (altura h_1, velocidade v) e a posição 4 (altura h_4, velocidade nula):

\frac{m v^2}{2}+m g h_1=m g h_4 \;\Rightarrow\; h_4=h_1+\frac{v^2}{2g}

Substituindo v:

h_4=h_1+\frac{1}{2g}\cdot\frac{F_0^2t_0^2}{4m^2}

h_4=h_1+\dfrac{F_0^2\,t_0^2}{8\,m^2\,g}

b) O pêndulo executa MHS, e nesse regime o período é T=2\pi\sqrt{\ell/g}. Ele depende apenas de \ell e de g, e não da amplitude nem da massa. O impulso aumenta a amplitude, mas não altera \ell nem g, então o período permanece o mesmo:

\frac{T_{antes}}{T_{depois}}=1

Razão =1 (os períodos são iguais).

Assuntos: Impulso e quantidade de movimento, Energia mecânica e sua conservação.

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Questão 1 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2ª etapa 2009 · 2º semestre · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗