Questão 4 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2008

Question

Uma amostra contendo 10^{-4}\text{ mol} de um gás ideal monoatômico, neutro, à temperatura de 127\ ^\circ\text{C}, encontra-se confinado num cilindro, sendo que sua base e seu êmbolo formam um capacitor, conforme a figura abaixo. As placas do capacitor são planas e paralelas, com área de 5{,}0\text{ cm}^2, distantes de 0{,}83\text{ cm} e carregadas com carga constante Q distribuídas uniformemente. A placa positiva pode mover-se livremente entre as duas paredes, enquanto a placa negativa é fixa. Considere a permissividade dielétrica do gás \varepsilon_0 \cong 9{,}0 \times 10^{-12}\text{ C}^2/\text{N}\cdot\text{m}^2 e a constante universal dos gases R = 8{,}3\text{ J/mol}\cdot\text{K}.

Esquema de um cilindro delimitado lateralmente por «Parede isolante». No topo, há uma «Placa móvel» com cargas positivas (+). Na base, há uma «Placa fixa» com cargas negativas (-). O espaço interno é preenchido por «gás» pontilhado, cuja altura é indicada pela cota vertical «d».

Nestas condições, desprezando os efeitos de borda do capacitor e admitindo o cilindro termicamente isolado do meio externo, calcule:

a) a carga do capacitor, com o sistema gás-capacitor em equilíbrio, lembrando que a força elétrica entre as placas do capacitor é F_{el.} = \frac{1}{2} QE, onde E é o campo elétrico no interior do capacitor;

(3,0 pontos)

b) a ddp entre os terminais do capacitor ao comprimir-se isobaricamente o gás até uma temperatura de 27\ ^\circ\text{C}.

(2,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2008

2º dia · Física: Capacitores

Uma amostra contendo 10^{-4}\text{ mol} de um gás ideal monoatômico, neutro, à temperatura de 127\ ^\circ\text{C}, encontra-se confinado num cilindro, sendo que sua base e seu êmbolo formam um capacitor, conforme a figura abaixo. As placas do capacitor são planas e paralelas, com área de 5{,}0\text{ cm}^2, distantes de 0{,}83\text{ cm} e carregadas com carga constante Q distribuídas uniformemente. A placa positiva pode mover-se livremente entre as duas paredes, enquanto a placa negativa é fixa. Considere a permissividade dielétrica do gás \varepsilon_0 \cong 9{,}0 \times 10^{-12}\text{ C}^2/\text{N}\cdot\text{m}^2 e a constante universal dos gases R = 8{,}3\text{ J/mol}\cdot\text{K}.

Esquema de um cilindro delimitado lateralmente por «Parede isolante». No topo, há uma «Placa móvel» com cargas positivas (+). Na base, há uma «Placa fixa» com cargas negativas (-). O espaço interno é preenchido por «gás» pontilhado, cuja altura é indicada pela cota vertical «d».

Nestas condições, desprezando os efeitos de borda do capacitor e admitindo o cilindro termicamente isolado do meio externo, calcule:

a) a carga do capacitor, com o sistema gás-capacitor em equilíbrio, lembrando que a força elétrica entre as placas do capacitor é F_{el.} = \frac{1}{2} QE, onde E é o campo elétrico no interior do capacitor;

(3,0 pontos)

b) a ddp entre os terminais do capacitor ao comprimir-se isobaricamente o gás até uma temperatura de 27\ ^\circ\text{C}.

(2,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q/A}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0 A}, e F = pA = \frac{1}{2} QE = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{\varepsilon_0 A} \Rightarrow p = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{\varepsilon_0 A^2} (1)

pV = nRT \Rightarrow p = \frac{nRT}{V} = \frac{nRT}{Ad} (2); com (2)=(1) temos \frac{nRT}{Ad} = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{\varepsilon_0 A^2} \Rightarrow Q = \sqrt{\frac{2\varepsilon_0 AnRT}{d}}

Q = \sqrt{\frac{2 \times 9{,}0 \times 10^{-12} \times 5{,}0 \times 10^{-4} \times 10^{-4} \times 8{,}3 \times 400}{8{,}3 \times 10^{-3}}} \Rightarrow Q = 6{,}0 \times 10^{-7} = 0{,}6\ \mu\text{C} (3,0 pontos)

b) De (1)=(2) tem-se \frac{1}{2} \frac{Q^2}{\varepsilon_0 A^2} = \frac{nRT}{Ad} \Rightarrow \frac{Q}{\varepsilon_0 A} d = \frac{2nRT}{Q} \Rightarrow Ed = \frac{2nRT}{Q} \Rightarrow U = \frac{2nRT}{Q}

U = \frac{2 \times 10^{-4} \times 8{,}3 \times 300}{6{,}0 \times 10^{-7}} \Rightarrow U = 8{,}3 \times 10^5\ \text{V} (2,0 pontos)

Ver como a UFG publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) No equilíbrio, a força que o gás faz na placa móvel (para cima) é equilibrada pela força elétrica de atração entre as placas (para baixo). Não há pressão externa citada, então só entram essas duas forças.

Primeiro, a pressão do gás, com T = 127+273 = 400\ \text{K} e V = Ad = 5{,}0\times10^{-4}\cdot 0{,}83\times10^{-2} = 4{,}15\times10^{-6}\ \text{m}^3:

P=\frac{nRT}{V}=\frac{10^{-4}\cdot 8{,}3\cdot 400}{4{,}15\times10^{-6}}=\frac{0{,}332}{4{,}15\times10^{-6}}=8{,}0\times10^{4}\ \text{Pa}

Força do gás na placa:

F_{gas}=PA=8{,}0\times10^{4}\cdot5{,}0\times10^{-4}=40\ \text{N}

O campo entre as placas é E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 A}. Então a força elétrica fica:

F_{el}=\frac12QE=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0A}

Igualando F_{el}=F_{gas}:

Q^2=2\varepsilon_0 A F=2\cdot9{,}0\times10^{-12}\cdot5{,}0\times10^{-4}\cdot40=3{,}6\times10^{-13}

Q=6{,}0\times10^{-7}\ \text{C}

Q = 6,0 × 10⁻⁷ C

b) A carga Q é constante e a área também. Logo E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0A} não muda, a força elétrica continua a mesma e a pressão do gás permanece em 8{,}0\times10^4\ \text{Pa}. Isso é coerente com a compressão isobárica.

Na transformação isobárica, V\propto T e, como a área é fixa, d\propto T. Com T'=27+273=300\ \text{K}:

d'=d\,\frac{T'}{T}=0{,}83\cdot\frac{300}{400}=0{,}6225\ \text{cm}=6{,}225\times10^{-3}\ \text{m}

A ddp é U=Ed':

U=\frac{Q\,d'}{\varepsilon_0A}=\frac{6{,}0\times10^{-7}\cdot6{,}225\times10^{-3}}{9{,}0\times10^{-12}\cdot5{,}0\times10^{-4}}=\frac{3{,}735\times10^{-9}}{4{,}5\times10^{-15}}\approx8{,}3\times10^{5}\ \text{V}

U ≈ 8,3 × 10⁵ V

Assuntos: Capacitores, Gases ideais e transformações gasosas.

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Questão 4 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2008

Fonte: UFG 2ª etapa 2008 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗