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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2008

2º dia · Física: Reflexão total e dispersão da luz

Atividades como falar ao telefone, assistir à TV a cabo, navegar na internet ou mesmo realizar um exame de endoscopia digestiva etc. são possíveis graças à tecnologia associada às fibras ópticas. Algumas das vantagens dessa tecnologia são a imunidade a interferências, grande capacidade de transmissão de dados, ausência de ruídos, isolação elétrica e sigilo nas comunicações. A figura a seguir mostra uma secção de uma fibra óptica, onde ela é basicamente constituída de casca e núcleo, ambos de vidro, de índices de refração diferentes.

Esquema da secção longitudinal de uma fibra óptica, formada por uma região central branca chamada "Núcleo", de diâmetro d indicado por uma seta tracejada vertical à esquerda, e duas faixas externas cinzas (superior e inferior) chamadas "Casca". À esquerda, um raio proveniente de uma "Fonte de luz laser" penetra no núcleo e sofre sucessivas reflexões internas totais nas interfaces entre o núcleo e a casca, propagando-se em zigue-zague da esquerda para a direita. Em cada ponto de reflexão há uma linha normal tracejada vertical, e o ângulo de incidência entre o raio e a normal é indicado por θ.

Dado:

\sen \theta = \frac{1}{x}\text{ , }x > 1

a) Calcule o valor do ângulo crítico \theta_c, para que haja a transmissão da luz, dados os índices de refração n_c da casca e n_n do núcleo, com n_c < n_n. (2,0 pontos)

b) Considerando que as reflexões internas totais em toda fibra se comportem conforme a secção da figura (\theta > \theta_c), determine o número de reflexões num comprimento L da fibra, em função de x, L e d (diâmetro do núcleo). (3,0 pontos)

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a)

O ângulo crítico é o ângulo de incidência para o qual o raio refratado passa a se propagar paralelamente à interface entre núcleo e casca. Nesse limite, o ângulo de refração é 90^\circ. Os ângulos são medidos em relação à normal à interface.

Aplicando a lei de Snell à passagem do núcleo para a casca:

n_n\sen\theta_c=n_c\sen90^\circ=n_c.

Como n_n>n_c, existe um ângulo crítico. Para que a luz permaneça confinada no núcleo por reflexão interna total, seu ângulo de incidência deve satisfazer \theta>\theta_c.

Portanto, \displaystyle\theta_c=\arcsin\left(\frac{n_c}{n_n}\right).

b)

Considere duas reflexões consecutivas, uma na interface superior e outra na inferior. Entre elas, o raio atravessa a distância transversal d e avança uma distância \ell ao longo do eixo da fibra. Como \theta é medido em relação à normal, que é perpendicular ao eixo:

\tg\theta=\frac{\ell}{d}\quad\Rightarrow\quad\ell=d\,\tg\theta.

Usando o dado \sen\theta=1/x, com x>1, obtemos:

\cos\theta=\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x},
\tg\theta=\frac{\sen\theta}{\cos\theta}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}.

Assim, a distância axial entre reflexões consecutivas é \ell=d/\sqrt{x^2-1}. Cada avanço desse comprimento corresponde a uma reflexão, sem fator adicional de dois. Desprezando os ajustes inteiros nas extremidades, a contagem em um comprimento L é N=L/\ell.

Portanto, \displaystyle N=\frac{L}{d}\sqrt{x^2-1} reflexões.

Assuntos: Reflexão total e dispersão da luz, Refração da luz e lei de Snell.

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Ver como caiu na prova Questão 3 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2008

Fonte: UFG 2ª etapa 2008 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗