Questão 12 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2008

Question

Ao observar problemas de transmissão de dados via linha telefônica, o matemático Benoit Mandelbrot associou a distribuição dos erros de transmissão com o conjunto de Cantor. Para construir o conjunto de Cantor, a partir de um segmento de comprimento m, utiliza-se o seguinte processo:

No 1^o passo, divide-se o segmento em três partes iguais e retira-se a parte central; no 2^o passo, cada segmento restante do 1^o passo é dividido em três partes iguais, retirando-se a parte central de cada um deles; e assim sucessivamente, como mostra a figura abaixo.

Construção geométrica do conjunto de Cantor a partir de um segmento de comprimento m, ilustrando a divisão e remoção do terço central sucessivamente do 1º ao 4º passo

Repetindo-se esse processo indefinidamente, obtém-se o conjunto de Cantor. Com base nesse processo, calcule a soma dos tamanhos de todos os segmentos restantes no 20^o passo.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2008

2º dia · Matemática: Progressão geométrica

Ao observar problemas de transmissão de dados via linha telefônica, o matemático Benoit Mandelbrot associou a distribuição dos erros de transmissão com o conjunto de Cantor. Para construir o conjunto de Cantor, a partir de um segmento de comprimento m, utiliza-se o seguinte processo:

No 1^o passo, divide-se o segmento em três partes iguais e retira-se a parte central; no 2^o passo, cada segmento restante do 1^o passo é dividido em três partes iguais, retirando-se a parte central de cada um deles; e assim sucessivamente, como mostra a figura abaixo.

Construção geométrica do conjunto de Cantor a partir de um segmento de comprimento m, ilustrando a divisão e remoção do terço central sucessivamente do 1º ao 4º passo

Repetindo-se esse processo indefinidamente, obtém-se o conjunto de Cantor. Com base nesse processo, calcule a soma dos tamanhos de todos os segmentos restantes no 20^o passo.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Inicialmente, calcula-se a quantidade de segmentos restantes no 20^o passo.

No 1^o passo, retira-se 1 segmento e restam 2.
No 2^o passo, retiram-se 2 segmentos e restam 4.
No 3^o passo, retiram-se 4 segmentos e restam 8, e assim sucessivamente.

Percebe-se que a quantidade de segmentos restantes forma uma progressão geométrica de razão 2. A quantidade de segmentos restantes no n-ésimo passo é:

a_n = 2^n

Logo, no 20^o passo restam a_{20} = 2^{20} segmentos.

Os segmentos restantes em cada passo são todos iguais e seus comprimentos são calculados da seguinte forma:
No 1^o passo, cada segmento restante tem comprimento \frac{m}{3}.
No 2^o passo, cada segmento restante tem comprimento \frac{m}{3^2}.
No 3^o passo, cada segmento restante tem comprimento \frac{m}{3^3}.

Logo, os comprimentos de cada segmento formam uma progressão geométrica de razão q = \frac{1}{3}.
O comprimento de cada segmento no n-ésimo passo é:

b_n = \frac{m}{3^n}

Assim, no 20^o passo, cada segmento restante terá comprimento

b_{20} = \frac{m}{3^{20}}

Desta forma, a soma, S, dos comprimentos de todos os segmentos restantes no 20^o passo, será:

S = a_{20} \cdot b_{20} = 2^{20} \cdot \frac{m}{3^{20}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{20} \cdot m

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Em cada passo, cada segmento restante é dividido em três partes iguais e a parte central é retirada. Sobram então 2 dos 3 terços de cada segmento, ou seja, a soma dos comprimentos fica multiplicada por \frac{2}{3}.

Chamando de S_n a soma dos tamanhos dos segmentos restantes após o n-ésimo passo:

S_0 = m
S_1 = \frac{2}{3}m
S_2 = \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}m = \left(\frac{2}{3}\right)^2 m

A sequência S_0, S_1, S_2, \dots é uma progressão geométrica de razão \frac{2}{3}, então S_n = m\left(\frac{2}{3}\right)^n.

Conferindo com a figura: no 2º passo há 4 segmentos de comprimento \frac{m}{9} cada, somando \frac{4m}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 m. Está de acordo.

Para n = 20 (há 2^{20} segmentos, cada um de comprimento \frac{m}{3^{20}}):

S_{20} = 2^{20}\cdot\frac{m}{3^{20}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{20} m

A soma dos tamanhos dos segmentos restantes no 20º passo é \left(\frac{2}{3}\right)^{20} m.

Assunto: Progressão geométrica.

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Questão 12 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2008

Fonte: UFG 2ª etapa 2008 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗