Questão 11 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2008

Question

Todos os funcionários de uma empresa irão contribuir igualmente para fazer um bolão da Mega Sena, cujo valor é R$ 2.700,00. Na hora de recolher o dinheiro para fazer o bolão, dois funcionários da empresa desistiram de participar e, com isso, a cota que cada participante deveria pagar sofreu um aumento de R$ 8,00, para manter o valor total do bolão. Dessa forma, calcule o número total de funcionários dessa empresa.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2008

2º dia · Matemática: Equação do 2º grau

Todos os funcionários de uma empresa irão contribuir igualmente para fazer um bolão da Mega Sena, cujo valor é R$ 2.700,00. Na hora de recolher o dinheiro para fazer o bolão, dois funcionários da empresa desistiram de participar e, com isso, a cota que cada participante deveria pagar sofreu um aumento de R$ 8,00, para manter o valor total do bolão. Dessa forma, calcule o número total de funcionários dessa empresa.

(5,0 pontos)

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Resposta esperada pela UFG

Seja n o número de funcionários e x a cota que cada funcionário pagaria inicialmente para participar do bolão. Tem-se que:

nx = 2700 \implies x = \frac{2700}{n}

Como dois funcionários desistiram de participar do bolão, e o valor a ser pago por cada participante aumentou R$ 8,00, para manter o valor total do bolão, então

(n - 2)(x + 8) = 2700 \implies nx + 8n - 2x - 16 = 2700

Substituindo os valores de nx e de x, obtém-se

2700 + 8n - 2 \cdot \frac{2700}{n} - 16 = 2700 \implies 8n - \frac{5400}{n} - 16 = 0 \implies \frac{8n^2 - 5400 - 16n}{n} = 0 \implies

8n^2 - 16n - 5400 = 0 \implies n^2 - 2n - 675 = 0

Resolvendo essa equação do 2º grau, obtém-se que:

n = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 675}}{2} = 1 \pm \sqrt{676} = 1 \pm 26\ .

Logo, n = 27 ou n = -25\ .
Como n deve ser positivo, o número de funcionários é 27.

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Seja n o número total de funcionários. Se todos participassem, cada um pagaria \frac{2700}{n} reais. Com a desistência de 2 deles, restam n-2 participantes, e cada um paga \frac{2700}{n-2} reais. O enunciado diz que a cota aumentou R$ 8,00:

\frac{2700}{n-2}-\frac{2700}{n}=8

Colocando no mesmo denominador: \dfrac{2700n-2700(n-2)}{n(n-2)}=8.
O numerador vale 2700\cdot 2=5400, então \dfrac{5400}{n(n-2)}=8.
Daí n(n-2)=675, ou seja, n^2-2n-675=0.
O discriminante é \Delta=4+2700=2704=52^2.
Então n=\dfrac{2\pm 52}{2}, que dá n=27 ou n=-25. Como n é um número de pessoas, só serve n=27.

Verificação: com 27 funcionários, a cota seria 2700/27=\text{R\$ }100{,}00. Com 25 participantes, seria 2700/25=\text{R\$ }108{,}00, ou seja, R$ 8,00 a mais, como pede o enunciado.

A empresa tem 27 funcionários.

Assunto: Equação do 2º grau.

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Questão 11 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2008

Fonte: UFG 2ª etapa 2008 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗