Questão 22 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2007

Question

Um objeto \overline{AB} postado verticalmente sobre o eixo principal de um espelho côncavo de distância focal \overline{FV} = \overline{CF} = 12\text{ cm}, move-se da posição P até C, distantes 6\text{ cm}, com velocidade constante v = 3\text{ cm/s}, conforme figura abaixo.

Esquema óptico com espelho esférico côncavo de vértice V. Sobre o eixo principal horizontal estão assinalados os pontos F (foco), C (centro de curvatura) e P. Na posição P há uma seta vertical AB orientada para cima, com vetor velocidade v orientado para a direita. Na posição C há uma seta vertical tracejada idêntica.

Com base no exposto,

a) construa graficamente as imagens do objeto nas posições P e C; (3,0 pontos)

b) calcule o módulo da velocidade média do deslocamento da imagem. (2,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 22 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2007

2º dia · Física: Espelhos esféricos

Um objeto \overline{AB} postado verticalmente sobre o eixo principal de um espelho côncavo de distância focal \overline{FV} = \overline{CF} = 12\text{ cm}, move-se da posição P até C, distantes 6\text{ cm}, com velocidade constante v = 3\text{ cm/s}, conforme figura abaixo.

Esquema óptico com espelho esférico côncavo de vértice V. Sobre o eixo principal horizontal estão assinalados os pontos F (foco), C (centro de curvatura) e P. Na posição P há uma seta vertical AB orientada para cima, com vetor velocidade v orientado para a direita. Na posição C há uma seta vertical tracejada idêntica.

Com base no exposto,

a) construa graficamente as imagens do objeto nas posições P e C; (3,0 pontos)

b) calcule o módulo da velocidade média do deslocamento da imagem. (2,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Imagens \text{i}_{\text{C}} e \text{i}_{\text{P}}:

[Figura: Esquema óptico de um espelho côncavo com vértice V, foco F, centro de curvatura C e um ponto P sobre o eixo principal. No ponto P há uma seta vertical orientada para cima representando o objeto. No ponto C há um segmento vertical tracejado com pontas de seta. Raios luminosos partem do topo do objeto em P (um paralelo ao eixo principal que reflete passando por F, e outro passando por F que reflete paralelo ao eixo), interceptando-se entre C e F para formar a imagem real e invertida \text{i}_{\text{P}}. No centro de curvatura C, a imagem conjugada \text{i}_{\text{C}} é representada por uma seta vertical invertida tracejada.]

(3,0 pontos)

b) Para o objeto em P: \frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} \Rightarrow \frac{1}{12} = \frac{1}{30} + \frac{1}{p'} \Rightarrow p'_1 = 20\text{ cm}

Para o objeto em C: p'_2 = 24\text{ cm}

Deslocamento da imagem: x = p'_2 - p'_1 = 24 - 20 \Rightarrow x = 4\text{ cm}

Tempo do deslocamento: t = \overline{PC} / v = 6 / 3 \Rightarrow t = 2\text{ s}

v_i = \frac{x}{t} = \frac{4}{2} \Rightarrow \boxed{v_i = 2\text{ cm/s}}

(2,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Pelas posições da figura, V é o vértice, F está a 12\ \text{cm} de V e C a 24\ \text{cm}. Como P está 6\ \text{cm} antes de C, o objeto vai de p=30\ \text{cm} até p=24\ \text{cm}.

Para cada posição, traçam-se dois raios que partem do topo A do objeto:

um raio paralelo ao eixo principal, que reflete passando pelo foco F;
um raio que passa pelo centro de curvatura C, que incide perpendicularmente ao espelho e volta sobre si mesmo (um raio passando por F, que reflete paralelo ao eixo, também serviria).

O ponto em que os raios refletidos se cruzam é o topo A' da imagem, e a imagem fica sobre o eixo, abaixo dele.

Objeto em P (além de C): os raios se cruzam entre F e C. A imagem é real, invertida e menor que o objeto (fica a 20\ \text{cm} de V, como se confirma no item b).
Objeto em C: os raios se cruzam no próprio C. A imagem é real, invertida e do mesmo tamanho do objeto, também sobre C.

Resposta: nas duas posições a imagem é real e invertida, menor que o objeto em P (entre F e C) e igual a ele em C (sobre C).

b) Pela equação de Gauss, \dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p'}.

Em P (p=30\ \text{cm}):

\frac{1}{p'}=\frac{1}{12}-\frac{1}{30}=\frac{5-2}{60}=\frac{1}{20}\ \Rightarrow\ p'=20\ \text{cm}
Em C (p=24\ \text{cm}): p'=24\ \text{cm}, pois a imagem se forma sobre o próprio C.

A imagem se desloca \Delta p'=24-20=4\ \text{cm}.

O objeto percorre 6\ \text{cm} com v=3\ \text{cm/s}, então \Delta t=\dfrac{6}{3}=2\ \text{s}.

v_{m,\text{imagem}}=\frac{\Delta p'}{\Delta t}=\frac{4}{2}=2\ \text{cm/s}

A imagem se afasta do espelho, no mesmo sentido do movimento do objeto, mais devagar que ele.

Resposta: 2\ \text{cm/s}.

Assuntos: Espelhos esféricos, Velocidade média e movimento uniforme.

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Questão 22 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2007

Fonte: UFG 2ª etapa 2007 · 2º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗