Questão 23 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2007

Question

Um capacitor de placas paralelas quadradas de lado L e capacitância C submetido a uma diferença de potencial V está imerso num campo magnético uniforme de módulo B. Uma partícula de carga q move-se no seu interior numa trajetória horizontal eqüidistante das placas com velocidade constante \vec{v} perpendicular a \vec{B} e, ao sair do capacitor, descreve uma curva até ser detectada, conforme figura abaixo.

Esquema de um capacitor de placas paralelas imerso em um campo magnético uniforme perpendicular entrando no plano (indicado por círculos com X). Uma carga q com velocidade vetorial v entra horizontalmente a meia distância entre as placas, segue em linha reta até a extremidade direita do capacitor e então faz uma trajetória circular para cima até atingir um detector.

Dado:
Permissividade elétrica do meio = \varepsilon_0

Calcule, em função das variáveis apresentadas,

a) o módulo da velocidade da partícula; (2,0 pontos)

b) o tempo total gasto até a partícula ser detectada. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 23 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2007

2º dia · Física: Força magnética

Um capacitor de placas paralelas quadradas de lado L e capacitância C submetido a uma diferença de potencial V está imerso num campo magnético uniforme de módulo B. Uma partícula de carga q move-se no seu interior numa trajetória horizontal eqüidistante das placas com velocidade constante \vec{v} perpendicular a \vec{B} e, ao sair do capacitor, descreve uma curva até ser detectada, conforme figura abaixo.

Esquema de um capacitor de placas paralelas imerso em um campo magnético uniforme perpendicular entrando no plano (indicado por círculos com X). Uma carga q com velocidade vetorial v entra horizontalmente a meia distância entre as placas, segue em linha reta até a extremidade direita do capacitor e então faz uma trajetória circular para cima até atingir um detector.

Dado:
Permissividade elétrica do meio = \varepsilon_0

Calcule, em função das variáveis apresentadas,

a) o módulo da velocidade da partícula; (2,0 pontos)

b) o tempo total gasto até a partícula ser detectada. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Entre as placas: F_m = F_e \Rightarrow qE = qvB \Rightarrow v = E / B \quad (1)

C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d} \Rightarrow d = \frac{\varepsilon_0 L^2}{C} \qquad \text{e} \qquad E = \frac{V}{d} \Rightarrow E = \frac{CV}{\varepsilon_0 L^2} \quad (2)

Substituindo (2) em (1): \boxed{v = \frac{CV}{\varepsilon_0 B L^2}}

(2,0 pontos)

b) Tempo total: t_T = t_1 + t_2

t_1 = \frac{L}{v} = \frac{\varepsilon_0 B L^3}{CV} \qquad \text{e} \qquad t_2 = \frac{1}{4} \frac{2\pi r}{v} = \frac{\pi d}{4v} = \frac{\pi \varepsilon_0 L^2}{4vC} = \frac{\pi \varepsilon_0^2 L^4 B}{4C^2 V}

t_T = \frac{\varepsilon_0 B L^3}{CV} + \frac{\pi \varepsilon_0^2 L^4 B}{4C^2 V} \Rightarrow \boxed{t_T = \frac{\varepsilon_0 B L^3}{CV}\left(1 + \frac{\pi \varepsilon_0 L}{4C}\right)}

(3,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Dentro do capacitor a partícula segue em linha reta com velocidade constante. Então a força elétrica e a magnética se anulam: qE = qvB, ou seja, v = E/B.

O campo entre as placas é E = V/d. A distância d entre as placas vem da capacitância de placas paralelas de área L^2:

C = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d} \;\Rightarrow\; d = \frac{\varepsilon_0 L^2}{C}

Logo:

E = \frac{V}{d} = \frac{VC}{\varepsilon_0 L^2}

Substituindo em v = E/B:

v = \frac{VC}{\varepsilon_0 L^2 B}

v = \dfrac{VC}{\varepsilon_0 L^2 B}

b) O tempo total tem duas partes.

Dentro do capacitor o movimento é uniforme ao longo de L:

t_1 = \frac{L}{v} = \frac{\varepsilon_0 B L^3}{VC}
Fora do capacitor só atua o campo magnético, e a partícula descreve uma circunferência. Pela figura, ela chega ao detector com velocidade vertical, depois de girar 90^\circ, isto é, um quarto de volta. O período é T = \dfrac{2\pi m}{qB}, onde m é a massa da partícula. Assim:

t_2 = \frac{T}{4} = \frac{\pi m}{2qB}

Somando:

t = t_1 + t_2 = \frac{\varepsilon_0 B L^3}{VC} + \frac{\pi m}{2qB}

t = \dfrac{\varepsilon_0 B L^3}{VC} + \dfrac{\pi m}{2qB}, com m a massa da partícula (o enunciado não a lista entre as variáveis, mas ela é necessária para o tempo no arco).

Assuntos: Força magnética, Capacitores.

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Questão 23 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2007

Fonte: UFG 2ª etapa 2007 · 2º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗