Questão 20 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2007

Question

Um bloco de massa m, abandonado de uma altura h, desliza sem atrito até chocar-se elasticamente com outro bloco de massa 2m em repouso, conforme figura abaixo.

Pista curva onde um bloco de massa m é solto da altura h no ponto A e desliza sem atrito até a base no ponto B, onde colide com um bloco de massa 2m. O trecho seguinte, BC, possui atrito e sobe até uma altura 2h/9 no ponto C.

Após esta colisão, o segundo bloco percorre o trecho BC, onde há atrito, alcançando uma altura 2h/9. Com base no exposto, calcule:

a) A velocidade dos blocos imediatamente após o choque. (3,0 pontos)

b) A energia dissipada pelo atrito. (2,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2007

2º dia · Física: Colisões

Um bloco de massa m, abandonado de uma altura h, desliza sem atrito até chocar-se elasticamente com outro bloco de massa 2m em repouso, conforme figura abaixo.

Pista curva onde um bloco de massa m é solto da altura h no ponto A e desliza sem atrito até a base no ponto B, onde colide com um bloco de massa 2m. O trecho seguinte, BC, possui atrito e sobe até uma altura 2h/9 no ponto C.

Após esta colisão, o segundo bloco percorre o trecho BC, onde há atrito, alcançando uma altura 2h/9. Com base no exposto, calcule:

a) A velocidade dos blocos imediatamente após o choque. (3,0 pontos)

b) A energia dissipada pelo atrito. (2,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Bloco de massa m: E_A = E_B \Rightarrow v_B = \sqrt{2gh}

Colisão em B: \vec{P}_i = \vec{P}_f \Rightarrow mv_B = -mv'_B + 2mV_B \Rightarrow (v_B + v'_B) = 2V_B \Rightarrow (v_B + v'_B)^2 = 4V_B^2 \quad (1)

E_i = E_f \Rightarrow \frac{1}{2}mv_B^2 = \frac{1}{2}m{v'}_B^2 + \frac{1}{2}2mV_B^2 \Rightarrow v_B^2 - {v'}_B^2 = (v_B + v'_B)(v_B - v'_B) = 2V_B^2 \quad (2)

Dividindo (1) por (2): (v_B + v'_B) = 2(v_B - v'_B) \Rightarrow v'_B = \frac{1}{3}v_B \Rightarrow \boxed{v'_B = \frac{1}{3}\sqrt{2gh}}

V_B = \frac{1}{2}(v_B + v'_B) = \frac{1}{2}\left(v_B + \frac{1}{3}v_B\right) = \frac{2}{3}v_B \Rightarrow \boxed{V_B = \frac{2}{3}\sqrt{2gh}}

(3,0 pontos)

b) \Delta E = E_C - E_B = 2mg\left(\frac{2}{9}h\right) - \frac{1}{2}2mV_B^2 = \frac{4}{9}mgh - m\left(\frac{4}{9}2gh\right) = \left(\frac{4}{9} - \frac{8}{9}\right)mgh \Rightarrow \boxed{\Delta E = -\frac{4}{9}mgh}

(2,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Primeiro, a velocidade do bloco m logo antes do choque. Não há atrito de A até B, então a energia mecânica se conserva:

mgh=\frac{1}{2}mv_0^2 \Rightarrow v_0=\sqrt{2gh}

O choque é elástico, então conservamos a quantidade de movimento e a energia cinética. Chamando de v_1 a velocidade final de m e de v_2 a de 2m (positivas para a direita):

Quantidade de movimento: mv_0=mv_1+2mv_2
Energia cinética: \frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}(2m)v_2^2

Em choque elástico, a velocidade relativa de afastamento é igual à de aproximação: v_2-v_1=v_0. Substituindo v_1=v_2-v_0 na quantidade de movimento:

v_0=v_2-v_0+2v_2 \Rightarrow v_2=\frac{2}{3}v_0

v_1=\frac{2}{3}v_0-v_0=-\frac{1}{3}v_0

O sinal negativo indica que o bloco m volta para a esquerda. Em módulo:

bloco m: \dfrac{\sqrt{2gh}}{3}, voltando para a esquerda;
bloco 2m: \dfrac{2\sqrt{2gh}}{3}, seguindo para a direita.

Resposta: v_m=\dfrac{\sqrt{2gh}}{3} (sentido contrário ao inicial) e v_{2m}=\dfrac{2\sqrt{2gh}}{3} (sentido original).

b) O bloco 2m sai de B com energia cinética:

E_c=\frac{1}{2}(2m)\left(\frac{2}{3}\sqrt{2gh}\right)^2=m\cdot\frac{4}{9}\cdot 2gh=\frac{8}{9}mgh

Em C ele para momentaneamente, com energia potencial:

E_p=2m\,g\,\frac{2h}{9}=\frac{4}{9}mgh

A energia dissipada pelo atrito é a diferença:

E_{dis}=\frac{8}{9}mgh-\frac{4}{9}mgh=\frac{4}{9}mgh

Resposta: E_{dis}=\dfrac{4}{9}mgh.

Assuntos: Colisões, Energia mecânica e sua conservação.

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Questão 20 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2007

Fonte: UFG 2ª etapa 2007 · 2º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗