Questão 21 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2006

Question

Um desfibrilador externo, usado para reversão de paradas cardíacas, provoca a descarga rápida de um capacitor através do coração, por meio de eletrodos aplicados ao tórax do paciente. Na figura abaixo, vê-se o gráfico de descarga de um capacitor de capacidade C, inicialmente 100% carregado, através de um resistor de resistência R, em função do tempo, o qual é dado em termos da constante de tempo \tau = \text{RC}. Observe que, a cada constante de tempo \tau, a carga no capacitor reduz-se à metade.

$Gráfico de descarga de um capacitor mostrando a fração de carga remanescente $Q/Q_0$ em porcentagem, de 0 a 100%, em função do tempo $t$, marcado de $0\tau$ a $6\tau$. A curva decai exponencialmente passando por 50% em $1\tau$, 25% em $2\tau$ e 12,5% em $3\tau$.$

Supondo que o capacitor perca 87,5% de sua carga em 3 ms e que a resistência entre os eletrodos seja de 50\ \Omega, determine, para uma d.d.p. inicial entre as placas de 5 kV:

a) a corrente média entre os eletrodos, nesse intervalo de 3 ms; (3,0 pontos)

b) a energia inicial armazenada no capacitor. (2,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 21 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2006

2º dia · Física: Capacitores

Um desfibrilador externo, usado para reversão de paradas cardíacas, provoca a descarga rápida de um capacitor através do coração, por meio de eletrodos aplicados ao tórax do paciente. Na figura abaixo, vê-se o gráfico de descarga de um capacitor de capacidade C, inicialmente 100% carregado, através de um resistor de resistência R, em função do tempo, o qual é dado em termos da constante de tempo \tau = \text{RC}. Observe que, a cada constante de tempo \tau, a carga no capacitor reduz-se à metade.

$Gráfico de descarga de um capacitor mostrando a fração de carga remanescente $Q/Q_0$ em porcentagem, de 0 a 100%, em função do tempo $t$, marcado de $0\tau$ a $6\tau$. A curva decai exponencialmente passando por 50% em $1\tau$, 25% em $2\tau$ e 12,5% em $3\tau$.$

Supondo que o capacitor perca 87,5% de sua carga em 3 ms e que a resistência entre os eletrodos seja de 50\ \Omega, determine, para uma d.d.p. inicial entre as placas de 5 kV:

a) a corrente média entre os eletrodos, nesse intervalo de 3 ms; (3,0 pontos)

b) a energia inicial armazenada no capacitor. (2,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Corrente média entre os eletrodos no intervalo de 3 ms: (3,0 pontos)

3\tau = 3\cdot 10^{-3}\text{s} \Rightarrow 3RC = 3\cdot 10^{-3} ; RC = 1\cdot 10^{-3} ; 50\cdot C = 1\cdot 10^{-3} \therefore C = \frac{1\cdot 10^{-3}}{50} = 0,02\cdot 10^{-3} = 20\cdot 10^{-6}\text{ F}

\text{C} = \text{Q}/\text{V} ; \text{Q}_0 = \text{CV}_0 = 20\cdot 10^{-6}\cdot 5\cdot 10^3 = 100\cdot 10^{-3} = 0,1\text{ C}

Em 3 ms 87,5% da carga inicial foi utilizada, isto é, 0,875\cdot 0,1 = 0,0875\text{ C} e

I = \frac{Q}{t} = \frac{0,0875}{3\cdot 10^{-3}} = \frac{87,5}{3} \Rightarrow | I = 29,2\text{ A} |

b) Energia inicial armazenada no capacitor: (2,0 pontos)

E_o = \frac{1}{2}CV_o^2 = \frac{1}{2}\cdot 20\cdot 10^{-6}\cdot 25\cdot 10^6 = 250\text{ J} \Rightarrow | E_0 = 250\text{ J} |

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Resolução comentada

a) Perder 87,5% da carga significa que restam 12,5%. No gráfico, 12,5% corresponde a t = 3\tau. Como esse intervalo dura 3 ms:

3\tau = 3\ \text{ms} \Rightarrow \tau = 1\ \text{ms}

De \tau = RC, a capacitância é:

C = \frac{\tau}{R} = \frac{1\times10^{-3}}{50} = 2\times10^{-5}\ \text{F} = 20\ \mu\text{F}

A carga inicial é:

Q_0 = C\,U_0 = 2\times10^{-5}\cdot 5\times10^{3} = 0{,}10\ \text{C}

A carga que atravessa os eletrodos nos 3 ms é a que o capacitor perdeu:

\Delta Q = 0{,}875\cdot 0{,}10 = 0{,}0875\ \text{C}

A corrente média é a carga que passa dividida pelo tempo:

i_m = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{0{,}0875}{3\times10^{-3}} \approx 29\ \text{A}

i_m \approx 29\ \text{A}

b) A energia armazenada em um capacitor carregado é:

E = \frac{C\,U_0^2}{2} = \frac{2\times10^{-5}\cdot(5\times10^{3})^2}{2} = \frac{2\times10^{-5}\cdot 25\times10^{6}}{2} = 250\ \text{J}

E = 250\ \text{J}

Assuntos: Capacitores, Corrente elétrica.

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Questão 21 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2006

Fonte: UFG 2ª etapa 2006 · 2º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗