Questão 15 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2006

Question

Na experiência de ressonância em cordas representada na figura, dois fios de densidades diferentes estão tensionados, através de roldanas ideais, por um bloco que pende deles dois. As extremidades esquerdas de ambos estão ligadas a uma fonte que produz pequenas vibrações com freqüência conhecida. A distância entre a fonte e as roldanas é \ell. Verifica-se que, quando a freqüência da fonte atinge o valor f, ambos os fios entram em ressonância, o mais denso no terceiro harmônico e o outro, na freqüência fundamental.

Esquema experimental mostrando dois fios estendidos horizontalmente a partir de uma fonte vibratória à esquerda, passando por roldanas à direita e sustentando conjuntamente um bloco suspenso. O fio superior apresenta padrão com três ventres e o fio inferior apresenta um único ventre.

Dados:
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} - velocidade da onda na corda;
g - aceleração da gravidade

Conhecendo a densidade linear de massa \mu_1 do fio mais denso, determine:

a) a densidade linear de massa do outro fio; (2,5 pontos)

b) a massa do bloco responsável pela tensão T em cada corda. (2,5 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2006

2º dia · Física: Ondas estacionárias: cordas vibrantes e tubos sonoros

Na experiência de ressonância em cordas representada na figura, dois fios de densidades diferentes estão tensionados, através de roldanas ideais, por um bloco que pende deles dois. As extremidades esquerdas de ambos estão ligadas a uma fonte que produz pequenas vibrações com freqüência conhecida. A distância entre a fonte e as roldanas é \ell. Verifica-se que, quando a freqüência da fonte atinge o valor f, ambos os fios entram em ressonância, o mais denso no terceiro harmônico e o outro, na freqüência fundamental.

Esquema experimental mostrando dois fios estendidos horizontalmente a partir de uma fonte vibratória à esquerda, passando por roldanas à direita e sustentando conjuntamente um bloco suspenso. O fio superior apresenta padrão com três ventres e o fio inferior apresenta um único ventre.

Dados:
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} - velocidade da onda na corda;
g - aceleração da gravidade

Conhecendo a densidade linear de massa \mu_1 do fio mais denso, determine:

a) a densidade linear de massa do outro fio; (2,5 pontos)

b) a massa do bloco responsável pela tensão T em cada corda. (2,5 pontos)

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Resolução comentada

a) Os dois fios têm o mesmo comprimento \ell, a mesma frequência f e a mesma tensão T. O bloco está preso aos dois, e cada fio sustenta metade do peso.

No fio mais denso (densidade \mu_1), que está no 3º harmônico, cabem três ventres, ou seja, \frac{3\lambda_1}{2}=\ell:

\lambda_1=\frac{2\ell}{3}\Rightarrow v_1=\lambda_1 f=\frac{2\ell f}{3}

No outro fio (densidade \mu_2), que está na fundamental, cabe um ventre, ou seja, \frac{\lambda_2}{2}=\ell:

\lambda_2=2\ell\Rightarrow v_2=2\ell f

Como v=\sqrt{T/\mu} e T é a mesma, \mu_1 v_1^2=\mu_2 v_2^2. Daí:

\mu_2=\mu_1\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2=\mu_1\left(\frac{1}{3}\right)^2

\mu_2=\dfrac{\mu_1}{9}

b) Pelo fio mais denso, T=\mu_1 v_1^2:

T=\mu_1\left(\frac{2\ell f}{3}\right)^2=\frac{4\mu_1\ell^2f^2}{9}

O bloco está em equilíbrio e é sustentado pelos dois fios, cada um com tração T. Então Mg=2T:

M=\frac{2T}{g}=\frac{8\mu_1\ell^2f^2}{9g}

Cada fio sustenta a parte T/g=\dfrac{4\mu_1\ell^2f^2}{9g} dessa massa, que é metade de M.

M=\dfrac{8\mu_1\ell^2f^2}{9g}

Assuntos: Ondas estacionárias: cordas vibrantes e tubos sonoros, Equilíbrio do ponto material.

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Questão 15 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2006

Fonte: UFG 2ª etapa 2006 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗

Nos cadernos: Grupo 1, questão 15Grupo 2, questão 23