Questão 14 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2006

Question

Em um certo planeta, um pêndulo simples oscila com a mesma freqüência que na Terra. Sabendo que a densidade de massa do planeta é duas vezes menor que a da Terra, deduza uma expressão para o raio do planeta em função do raio R da Terra. (5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2006

2º dia · Física: Gravitação universal e satélites

Em um certo planeta, um pêndulo simples oscila com a mesma freqüência que na Terra. Sabendo que a densidade de massa do planeta é duas vezes menor que a da Terra, deduza uma expressão para o raio do planeta em função do raio R da Terra. (5,0 pontos)

Reportar erro na questão

Resolução comentada

a) A frequência de um pêndulo simples de comprimento L num local onde a gravidade é g vale

f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}

O enunciado diz que o pêndulo oscila com a mesma frequência no planeta e na Terra. Tomando o mesmo pêndulo (mesmo L), concluímos que a aceleração da gravidade na superfície do planeta é igual à da Terra:

g_p=g_T

Agora vamos escrever g em função da densidade e do raio. Na superfície de um astro esférico de massa M e raio r:

g=\frac{GM}{r^2},\qquad M=\rho\,\frac{4}{3}\pi r^3

Substituindo:

g=\frac{4}{3}\pi G\rho\, r

Igualando g_p=g_T, com \rho_p=\rho_T/2, r_T=R e r_p o raio do planeta:

\frac{4}{3}\pi G\,\frac{\rho_T}{2}\,r_p=\frac{4}{3}\pi G\,\rho_T\,R

Cancelando os fatores comuns (\frac{4}{3}\pi G\rho_T):

\frac{r_p}{2}=R\;\Rightarrow\; r_p=2R

Como a densidade é metade da terrestre, o raio precisa ser o dobro para que g seja o mesmo.

Raio do planeta: r_p = 2R.

Assuntos: Gravitação universal e satélites, Movimento harmônico simples e pêndulos.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 14 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2006

Fonte: UFG 2ª etapa 2006 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗