Questão 9 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2005

Resolução comentada

a) Com órbita circular de raio d e Sol em repouso, a única força relevante sobre o planeta é a atração gravitacional do Sol. Essa força faz o papel de resultante centrípeta.

1. Lei da Gravitação Universal:
   

   F = \frac{G M m}{d^2}

2. Resultante centrípeta do movimento circular uniforme, com velocidade v:
   

   F_{cp} = \frac{m v^2}{d}

3. Igualando as duas expressões:
   

   \frac{G M m}{d^2} = \frac{m v^2}{d} \;\Rightarrow\; v^2 = \frac{G M}{d}

4. Em uma volta completa, o planeta percorre 2\pi d no tempo T (o período), então:
   

   v = \frac{2\pi d}{T} \;\Rightarrow\; v^2 = \frac{4\pi^2 d^2}{T^2}

5. Substituindo em v^2 = \dfrac{GM}{d}:
   

   \frac{4\pi^2 d^2}{T^2} = \frac{G M}{d}

6. Isolando T^2:
   

   T^2 = \frac{4\pi^2}{G M}\, d^3

A massa m do planeta se cancela, e T^2 é proporcional a d^3, que é a Terceira Lei de Kepler. A constante C depende só da massa do Sol e de G, sendo a mesma para todos os planetas.

T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}\,d^3, ou seja, C = \dfrac{4\pi^2}{GM}

Assuntos: Leis de Kepler, Movimento circular uniforme e transmissão de movimento, Gravitação universal e satélites.

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