Questão 10 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2005

Question

No sistema representado na figura abaixo, as duas molas são iguais, têm 1 m de comprimento e estão relaxadas. Quando o fio é cortado, a esfera de massa 5,1 kg desce 1 m até parar momentaneamente.

Esquema mostrando uma esfera presa ao teto por um fio vertical prestes a ser cortado por uma tesoura. A esfera também está ligada horizontalmente a duas paredes laterais por molas de 1 m cada. Abaixo, há uma linha tracejada vertical indicando a trajetória de descida da esfera.

Dados:
\sqrt{2} = 1{,}41
g = 10\text{ m/s}^2

Calcule:

a) o valor da constante elástica k das molas; (2,0 pontos)

b) a energia cinética da massa após ter descido 75 cm. (3,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2005

2º dia · Física: Energia mecânica e sua conservação

No sistema representado na figura abaixo, as duas molas são iguais, têm 1 m de comprimento e estão relaxadas. Quando o fio é cortado, a esfera de massa 5,1 kg desce 1 m até parar momentaneamente.

Esquema mostrando uma esfera presa ao teto por um fio vertical prestes a ser cortado por uma tesoura. A esfera também está ligada horizontalmente a duas paredes laterais por molas de 1 m cada. Abaixo, há uma linha tracejada vertical indicando a trajetória de descida da esfera.

Dados:
\sqrt{2} = 1{,}41
g = 10\text{ m/s}^2

Calcule:

a) o valor da constante elástica k das molas; (2,0 pontos)

b) a energia cinética da massa após ter descido 75 cm. (3,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Instante em que pára momentaneamente:

E_{P\,gravitacional} = E_{P\,mola}

mgh = 2\left(\frac{kx^2}{2}\right) \Rightarrow k = \frac{mgh}{x^2}

[Figura: Triângulo retângulo com cateto horizontal superior igual a 1, cateto vertical esquerdo igual a 1 e hipotenusa igual a 1+x]

(1+x)^2 = 1^2 + 1^2 \Rightarrow 1+x = \sqrt{2} = 1{,}41 \Rightarrow x = 0{,}41

Portanto:

k = \frac{5{,}1 \times 10 \times 1}{(0{,}41)^2} \approx \frac{51}{0{,}17} \Rightarrow k \approx 300\text{ N / m}$$ (2,0 pontos) **b)** Instante após descer 75 cm: $$mgh = \frac{mv^2}{2} + mgh' + k{x'}^2

[Figura: Triângulo retângulo com cateto horizontal superior igual a 1, cateto vertical esquerdo igual a 3/4 e hipotenusa igual a 1+x']

(1+x')^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 + 1^2 = \frac{25}{16} \Rightarrow 1+x' = \frac{5}{4} \Rightarrow x' = \frac{1}{4} = 0{,}25

Portanto:

E_C = \frac{mv^2}{2} = mg(h - h') - k{x'}^2 = 5{,}1 \times 10 \times \left(1 - \frac{1}{4}\right) - \frac{300}{16} = \frac{153 - 75}{4} = \frac{78}{4} \Rightarrow E_C = 19{,}5\text{ J}

(3,0 pontos)

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Resolução comentada

a) Quando a esfera para momentaneamente, ela desceu 1 m. Cada mola vai da parede até a esfera, com 1 m na horizontal e 1 m na vertical. Seu comprimento é então L=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2=1{,}41\ \text{m}. A deformação de cada mola é x=1{,}41-1=0{,}41\ \text{m}.

Não há dissipação, então a energia mecânica se conserva. A esfera parte do repouso e para no ponto mais baixo. Logo, toda a energia potencial gravitacional perdida vira energia elástica nas duas molas:

mgh=2\cdot\frac{kx^2}{2}=kx^2

5{,}1\cdot10\cdot1=k\,(0{,}41)^2 \Rightarrow k=\frac{51}{0{,}1681}\approx 303\ \text{N/m}

(aproximadamente 3\times10^2\ \text{N/m}).

k\approx 3{,}0\times10^{2}\ \text{N/m}

b) Após descer 0{,}75\ \text{m}, cada mola tem comprimento L=\sqrt{1^2+0{,}75^2}=\sqrt{1{,}5625}=1{,}25\ \text{m}. A deformação é x=0{,}25\ \text{m}.

Pela conservação da energia, a energia potencial gravitacional perdida se divide entre energia elástica das duas molas e energia cinética:

Energia potencial gravitacional perdida: mgh=5{,}1\cdot10\cdot0{,}75=38{,}25\ \text{J}.
Energia elástica das duas molas: kx^2=303\cdot(0{,}25)^2\approx 18{,}96\ \text{J}.
Energia cinética: E_c=38{,}25-18{,}96\approx 19{,}3\ \text{J}.

E_c\approx 19\ \text{J} (cerca de 19{,}3\ \text{J})

Assuntos: Energia mecânica e sua conservação, Força elástica e lei de Hooke.

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Questão 10 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2005

Fonte: UFG 2ª etapa 2005 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗