Questão 19 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2005

Question

Considere uma semicircunferência de diâmetro \overline{AB} = 5\text{ cm} e um triângulo APB, conforme a figura abaixo:

Semicircunferência de diâmetro AB contendo o triângulo APB inscrito, com o vértice P sobre a semicircunferência e o ângulo PAB indicado por α.

a) Expresse a área do triângulo em função do ângulo \alpha apenas. (2,5 pontos)

b) Determine o valor de \alpha para que a área do triângulo seja máxima. (2,5 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2005

2º dia · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Considere uma semicircunferência de diâmetro \overline{AB} = 5\text{ cm} e um triângulo APB, conforme a figura abaixo:

Semicircunferência de diâmetro AB contendo o triângulo APB inscrito, com o vértice P sobre a semicircunferência e o ângulo PAB indicado por α.

a) Expresse a área do triângulo em função do ângulo \alpha apenas. (2,5 pontos)

b) Determine o valor de \alpha para que a área do triângulo seja máxima. (2,5 pontos)

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Resposta esperada pela UFG

a) Inicialmente note-se que \hat{P} = 90^\circ, pois APB é um triângulo inscrito numa semicircunferência.

Indicando S a área procurada, tem-se S = \frac{PA \cdot PB}{2}. Como PA = 5\cos\alpha e PB = 5\operatorname{sen}\alpha conclui-se que S = \frac{25}{2}\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha = \frac{25}{4}\operatorname{sen}2\alpha. (2,5 pontos)

b) Usando que S = \frac{AB \cdot h}{2} e sabendo que a base AB é fixa, então a área será máxima quando a altura h o for. Traçando uma tangente à semicircunferência, conforme a figura, percebe-se que, no ponto de tangência, a altura será máxima valendo h = \frac{AB}{2}. Portanto o triângulo será isosceles e \alpha = 45^\circ. (2,5 pontos)

[Figura: semicircunferência sobre o diâmetro horizontal AB contendo o triângulo APB inscrito com ângulo \alpha no vértice A; uma reta horizontal é traçada tangente ao topo da semicircunferência, onde um segmento tracejado de comprimento h desce perpendicularmente até a base AB; outro segmento tracejado de altura h desce do ponto P perpendicularmente à base AB.]

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Resolução comentada

a) Como P está sobre a semicircunferência de diâmetro AB, o ângulo \hat{APB} é inscrito e subtende o diâmetro, logo é reto. O triângulo APB é retângulo em P, com hipotenusa AB = 5 cm.

No triângulo retângulo, com \alpha = \hat{PAB}:

AP = 5\cos\alpha (cateto adjacente a \alpha);
PB = 5\,\sen\alpha (cateto oposto a \alpha).

A área é metade do produto dos catetos:

S = \frac{AP\cdot PB}{2} = \frac{25\,\sen\alpha\cos\alpha}{2}

Usando \sen 2\alpha = 2\,\sen\alpha\cos\alpha:

S(\alpha) = \frac{25}{4}\,\sen 2\alpha\ \text{cm}^2,\quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}

Resposta: S = \dfrac{25}{4}\,\sen 2\alpha\ \text{cm}^2 (equivalente a \dfrac{25}{2}\sen\alpha\cos\alpha).

b) A área \frac{25}{4}\sen 2\alpha é máxima quando \sen 2\alpha é máximo, isto é, \sen 2\alpha = 1.

Como 0<\alpha<\frac{\pi}{2}, temos 0<2\alpha<\pi, e o único valor com \sen 2\alpha = 1 é 2\alpha = \frac{\pi}{2}, ou seja, \alpha = \frac{\pi}{4}.

Nesse caso o triângulo é retângulo isósceles, e a área máxima é \frac{25}{4}\ \text{cm}^2.

Resposta: \alpha = \dfrac{\pi}{4} (45^\circ).

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Questão 19 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2005

Fonte: UFG 2ª etapa 2005 · 2º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗