Questão 12 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2005

Question

Uma máquina térmica contendo um gás monoatômico, que obedece à lei dos gases ideais, realiza o ciclo representado no diagrama abaixo.

Diagrama p(Pa) versus V(L) mostrando um ciclo termodinâmico de três etapas: de A para B, expansão isobárica à pressão pA (= pB) de V = 1 L até V = 8 L; de B para C, despressurização isocórica em V = 8 L de pB até pC; de C para A, compressão adiabática curva retornando ao ponto A (1 L, pA).

Dados:
Calor molar a volume constante = 3R/2
Calor molar a pressão constante = 5R/2

O processo CA é adiabático e obedece à equação pV^{5/3} = 2\text{ J.m}^2. Calcule:

a) o calor recebido ou cedido em cada processo; (3,0 pontos)

b) o trabalho no processo CA. (2,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2005

2º dia · Física: Primeira lei da termodinâmica

Uma máquina térmica contendo um gás monoatômico, que obedece à lei dos gases ideais, realiza o ciclo representado no diagrama abaixo.

Diagrama p(Pa) versus V(L) mostrando um ciclo termodinâmico de três etapas: de A para B, expansão isobárica à pressão pA (= pB) de V = 1 L até V = 8 L; de B para C, despressurização isocórica em V = 8 L de pB até pC; de C para A, compressão adiabática curva retornando ao ponto A (1 L, pA).

Dados:
Calor molar a volume constante = 3R/2
Calor molar a pressão constante = 5R/2

O processo CA é adiabático e obedece à equação pV^{5/3} = 2\text{ J.m}^2. Calcule:

a) o calor recebido ou cedido em cada processo; (3,0 pontos)

b) o trabalho no processo CA. (2,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a)

pV^{5/3} = 2 \quad \Rightarrow \quad p_A = p_B = \frac{2}{\left(10^{-3}\right)^{5/3}} = 2 \times 10^5\text{ Pa} \quad ; \quad p_C = \frac{2}{\left(8 \times 10^{-3}\right)^{5/3}} = \frac{1}{16} \times 10^5\text{ Pa}

pV = nRT \quad \Rightarrow \quad nR\Delta T = \Delta(pV)

Q_{AB} = nc_p\Delta T_{AB} = \frac{5}{2}nR(T_B - T_A) = \frac{5}{2}(p_B V_B - p_A V_A) = \frac{5}{2} \times 2 \times 10^5 \times (8 - 1) \times 10^{-3} = 3500\text{ J}

Q_{BC} = nc_v\Delta T_{BC} = \frac{3}{2}nR(T_C - T_B) = \frac{3}{2}(p_C V_C - p_B V_B) = \frac{3}{2} \times \left(\frac{1}{16} - 2\right) \times 10^5 \times 8 \times 10^{-3} = -2325\text{ J}

Q_{CA} = 0 (3,0 pontos)

b)

No ciclo, \Delta U = 0, W_{BC} = 0 e W_{AB} = p_A(V_B - V_A) = 2 \times 10^5 \times (8 - 1) \times 10^{-3} = 1400\text{ J} :

0 = Q_{AB} + Q_{BC} - W_{AB} - W_{CA} \quad \Rightarrow \quad W_{CA} = 3500 - 2325 - 1400 = -225\text{ J} \qquad \textbf{(2,0 pontos)}

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Resolução comentada

a) Primeiro achamos as pressões, usando pV^{5/3}=2 no processo adiabático, com V em m³.

Em A: V_A = 1\ \text{L} = 10^{-3}\ \text{m}^3, então V_A^{5/3}=10^{-5} e p_A = \dfrac{2}{10^{-5}} = 2\times10^{5}\ \text{Pa}.
Em C: V_C = 8\times10^{-3}\ \text{m}^3, então V_C^{5/3}=32\times10^{-5} e p_C = \dfrac{2}{32\times10^{-5}} = 6{,}25\times10^{3}\ \text{Pa}.

Com isso, p_AV_A = 200\ \text{J} e p_CV_C = 50\ \text{J}.

Agora o calor em cada etapa:

AB (isobárico): Q_{AB} = nC_p\Delta T = \dfrac{5}{2}\,p_A(V_B-V_A) = 2{,}5\cdot 2\times10^{5}\cdot 7\times10^{-3} = 3500\ \text{J}. O sinal é positivo, então o gás recebe calor.
BC (isocórico): Q_{BC} = nC_V\Delta T = \dfrac{3}{2}\,V_C(p_C-p_B) = 1{,}5\cdot 8\times10^{-3}\cdot(6250-200000) = -2325\ \text{J}. O sinal é negativo, então o gás cede calor.
CA (adiabático): não há troca de calor, Q_{CA}=0.

Resposta: Q_{AB}=+3500\ \text{J} (recebido); Q_{BC}=-2325\ \text{J} (cedido); Q_{CA}=0.

b) No processo adiabático Q=0, então W_{CA} = -\Delta U. Para o gás monoatômico, \Delta U = \dfrac{3}{2}\,nR\Delta T = \dfrac{3}{2}(p_AV_A - p_CV_C).

\Delta U_{CA} = \frac{3}{2}(200-50) = 225\ \text{J}

Portanto W_{CA} = -225\ \text{J}. O sinal negativo indica que o ambiente realiza trabalho sobre o gás, o que é esperado numa compressão, e a energia interna aumenta.

Resposta: W_{CA} = -225\ \text{J}.

Assuntos: Primeira lei da termodinâmica, Gases ideais e transformações gasosas.

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Questão 12 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2005

Fonte: UFG 2ª etapa 2005 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗

Nos cadernos: Grupo 1, questão 12Grupo 2, questão 22