Questão 11 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2005

Question

No experimento representado na figura abaixo, as duas esferas são rígidas e têm o mesmo raio, porém a da esquerda tem o dobro da massa daquela do pêndulo. A esfera ligada à mola de constante elástica k pode deslizar sem atrito sobre a superfície horizontal e o fio do pêndulo é inextensível e tem massa desprezível. A esfera ligada à mola, quando abandonada do repouso a partir da posição x = -A, sofre uma colisão perfeitamente elástica com a esfera do pêndulo.

a) Qual deve ser o comprimento \ell do fio para que a freqüência do pêndulo seja igual à freqüência do sistema massa-mola? (1,0 ponto)

b) Calcule as velocidades de ambas as esferas imediatamente antes e imediatamente após o primeiro choque. (2,0 pontos)

c) Devido ao sincronismo, as duas esferas voltam a colidir na mesma posição. Quais as suas velocidades imediatamente após esse segundo choque? (2,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2005

2º dia · Física: Colisões

No experimento representado na figura abaixo, as duas esferas são rígidas e têm o mesmo raio, porém a da esquerda tem o dobro da massa daquela do pêndulo. A esfera ligada à mola de constante elástica k pode deslizar sem atrito sobre a superfície horizontal e o fio do pêndulo é inextensível e tem massa desprezível. A esfera ligada à mola, quando abandonada do repouso a partir da posição x = -A, sofre uma colisão perfeitamente elástica com a esfera do pêndulo.

a) Qual deve ser o comprimento \ell do fio para que a freqüência do pêndulo seja igual à freqüência do sistema massa-mola? (1,0 ponto)

b) Calcule as velocidades de ambas as esferas imediatamente antes e imediatamente após o primeiro choque. (2,0 pontos)

c) Devido ao sincronismo, as duas esferas voltam a colidir na mesma posição. Quais as suas velocidades imediatamente após esse segundo choque? (2,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Freqüência do pêndulo: f_p = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{\ell}} Freqüência do sistema massa-mola: f_m = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{2m}}

Para que ocorra o sincronismo: (1,0 ponto)

\sqrt{\dfrac{g}{\ell}} = \sqrt{\dfrac{k}{2m}} \quad \Rightarrow \quad \ell = \dfrac{2mg}{k}

b) Conservação da energia antes da colisão:

\dfrac{kA^2}{2} = \dfrac{2mv^2}{2} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\dfrac{kA^2}{2m}}

1ª Colisão

Conservação da quantidade de movimento: 2mv = 2mv_1 + mv_2 \quad \Rightarrow \quad 2v_1 + v_2 = 2v

Inversão do sentido da velocidade relativa: 0 - v = -(v_2 - v_1) \quad \Rightarrow \quad v_1 - v_2 = -v

Logo: v_1 = v/3 e v_2 = 4v/3

Portanto: v_1 = \dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{kA^2}{2m}} e v_2 = \dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{kA^2}{2m}} (2,0 pontos)

c)

2ª Colisão

Conservação da quantidade de movimento:

2m\left(-\dfrac{v}{3}\right) + m\left(-\dfrac{4v}{3}\right) = 2mv'_1 + mv'_2 \quad \Rightarrow \quad 2v'_1 + v'_2 = -2v

Inversão do sentido da velocidade relativa: -\dfrac{v}{3} + \dfrac{4v}{3} = -(v'_1 - v'_2) \quad \Rightarrow \quad v'_1 - v'_2 = -v

Logo: v'_1 = -v e v'_2 = 0

Portanto: v'_1 = -\sqrt{\dfrac{kA^2}{2m}} e v'_2 = 0 (2,0 pontos)

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Resolução comentada

a) A esfera de massa 2m presa à mola faz um MHS com frequência angular \omega_{ms}=\sqrt{\dfrac{k}{2m}}. O pêndulo, para pequenas oscilações, tem \omega_p=\sqrt{\dfrac{g}{\ell}}.

Igualando as duas:

\frac{g}{\ell}=\frac{k}{2m}\ \Rightarrow\ \ell=\frac{2mg}{k}

\ell=\dfrac{2mg}{k}

b) Antes do choque: a esfera de massa 2m parte do repouso em x=-A e chega a x=0, onde toda a energia elástica virou cinética:

\frac{kA^2}{2}=\frac{2m\,v^2}{2}\ \Rightarrow\ v=A\sqrt{\frac{k}{2m}}

Essa velocidade é para a direita. O pêndulo está em repouso.

Depois do choque: o choque é elástico, então vale a conservação da quantidade de movimento e da energia cinética. Para uma esfera de massa 2m com velocidade v que bate numa esfera de massa m parada:

v_1'=\frac{2m-m}{2m+m}\,v=\frac{v}{3},\qquad v_2'=\frac{2\cdot 2m}{2m+m}\,v=\frac{4v}{3}

Conferindo a energia: m v^2 = \dfrac{2m}{2}\dfrac{v^2}{9}+\dfrac{m}{2}\dfrac{16v^2}{9}=mv^2. ✓

Antes: esfera da mola v=A\sqrt{k/2m} (para a direita), pêndulo 0. Depois: esfera da mola v/3 e pêndulo 4v/3, ambas para a direita.

c) Como as frequências são iguais, o período T é o mesmo para os dois sistemas.

Depois do primeiro choque, a esfera da mola está em x=0, a posição de equilíbrio. Ela faz então um MHS e volta a x=0 após T/2, com velocidade v/3 para a esquerda.

O pêndulo sobe e também volta ao ponto mais baixo após T/2, com velocidade 4v/3 para a esquerda.

No segundo choque, tomando a esquerda como negativa, as velocidades antes são -\dfrac{v}{3} (massa 2m) e -\dfrac{4v}{3} (massa m). O pêndulo, mais rápido e à direita, alcança a esfera da mola. Aplicando de novo a colisão elástica:

V_{2m}'=\frac{(2m-m)\left(-\frac v3\right)+2m\left(-\frac{4v}{3}\right)}{3m}=-v

V_m'=\frac{(m-2m)\left(-\frac{4v}{3}\right)+2\cdot2m\left(-\frac v3\right)}{3m}=\frac{\frac{4v}{3}-\frac{4v}{3}}{3}=0

Conferindo a energia: antes \dfrac{2m}{2}\dfrac{v^2}{9}+\dfrac{m}{2}\dfrac{16v^2}{9}=mv^2, depois \dfrac{2m}{2}v^2=mv^2. ✓

Após o segundo choque, o pêndulo fica parado e a esfera da mola volta com a velocidade inicial, em módulo. Esfera da mola: v=A\sqrt{k/2m} para a esquerda; pêndulo: 0.

Assuntos: Colisões, Movimento harmônico simples e pêndulos.

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Questão 11 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2005

Fonte: UFG 2ª etapa 2005 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗