Questão 9 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004

Question

Um corpo cilíndrico pontiagudo de massa m_{\text{A}} desliza por uma rampa sem atrito, a partir da altura H, e, no final da rampa, já na horizontal, colide com outro corpo de massa m_{\text{B}} suspenso por um fio de massa desprezível, inicialmente em repouso. Após a colisão, os corpos permanecem unidos e sobem juntos até uma altura h acima da posição do choque, conforme ilustrado na figura.

Esquema da situação física: à esquerda, um bloco com formato cilíndrico e ponta cônica de massa mA sobre uma rampa curva sem atrito a uma altura H. Na base da rampa, encontra-se suspenso verticalmente por um fio preso ao teto um corpo cúbico de massa mB. Em linha tracejada, mostra-se o fio inclinado após o choque, com o projétil cravado no cubo, atingindo uma altura h em relação ao nível inferior.

Dados:
m_{\text{A}} = 0{,}5\text{ kg}
m_{\text{B}} = 1{,}5\text{ kg}
H = 80\text{ cm}

a) Qual é o valor de h? (3,5 pontos)

b) Que fração da energia inicial é dissipada na colisão? (1,5 ponto)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004

2º dia · Física: Colisões

Um corpo cilíndrico pontiagudo de massa m_{\text{A}} desliza por uma rampa sem atrito, a partir da altura H, e, no final da rampa, já na horizontal, colide com outro corpo de massa m_{\text{B}} suspenso por um fio de massa desprezível, inicialmente em repouso. Após a colisão, os corpos permanecem unidos e sobem juntos até uma altura h acima da posição do choque, conforme ilustrado na figura.

Esquema da situação física: à esquerda, um bloco com formato cilíndrico e ponta cônica de massa mA sobre uma rampa curva sem atrito a uma altura H. Na base da rampa, encontra-se suspenso verticalmente por um fio preso ao teto um corpo cúbico de massa mB. Em linha tracejada, mostra-se o fio inclinado após o choque, com o projétil cravado no cubo, atingindo uma altura h em relação ao nível inferior.

Dados:
m_{\text{A}} = 0{,}5\text{ kg}
m_{\text{B}} = 1{,}5\text{ kg}
H = 80\text{ cm}

a) Qual é o valor de h? (3,5 pontos)

b) Que fração da energia inicial é dissipada na colisão? (1,5 ponto)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) Na descida da rampa, a energia mecânica se conserva, passando de potencial para cinética:

m_A gH = \frac{m_A {v_A}^2}{2}

v_A = \root\relax\radical"270270{2gH}

Ocorre então uma colisão totalmente inelástica na horizontal, na qual a quantidade de movimento dos dois corpos se conserva:

m_A \root\relax\radical"270270{2gH} = (m_A + m_B) v_{AB} \text{ ,}

onde v_{AB} é a velocidade dos dois corpos imediatamente após a colisão.

v_{AB} = \frac{m_A \root\relax\radical"270270{2gH}}{m_A + m_B}

Durante a subida a energia mecânica novamente se conserva, passando de cinética para potencial:

\frac{(m_A + m_B)}{2} \frac{{m_A}^2 2gH}{{(m_A + m_B)}^2} = (m_A + m_B) g\ h

h = {\left( \frac{m_A}{m_A + m_B} \right)}^2 H = {\left( \frac{0{,}5}{2{,}0} \right)}^2 80 = \frac{80}{16} = 5{,}0\text{ cm} \quad \therefore h = 5{,}0\text{ cm}

(3,5 pontos)

b) A energia dissipada é igual à diferença entre as energias inicial e final, de forma que a fração de energia dissipada se obtém como

f = \frac{E_i - E_f}{E_i} = 1 - \frac{E_f}{E_i} = 1 - \frac{(m_A + m_B)gh}{m_A gH} = 1 - \frac{2{,}0 \times 5}{0{,}5\text{x } 80} = \frac{3}{4} \quad \therefore \quad f = \frac{3}{4}

(1,5 ponto)

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Resolução comentada

a) Há três etapas: descida, colisão e subida.

Descida sem atrito (conservação da energia mecânica), com g = 10\ \text{m/s}^2 e H = 0{,}8\ \text{m}:

v_A=\sqrt{2gH}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 0{,}8}=4\ \text{m/s}
Colisão perfeitamente inelástica (os corpos ficam unidos). A energia mecânica não se conserva, mas a quantidade de movimento horizontal sim, pois o choque é rápido e a tração do fio é vertical:

m_A v_A=(m_A+m_B)V \Rightarrow 0{,}5\cdot 4=2{,}0\cdot V \Rightarrow V=1\ \text{m/s}
Subida do conjunto: depois do choque, só o peso realiza trabalho (a tração é perpendicular ao movimento), então a energia cinética vira potencial:

\frac{(m_A+m_B)V^2}{2}=(m_A+m_B)gh \Rightarrow h=\frac{V^2}{2g}=\frac{1}{20}=0{,}05\ \text{m}

h = 0{,}05\ \text{m} = 5\ \text{cm}

b) A energia inicial é a energia mecânica do corpo A no topo da rampa, que é igual à sua energia cinética na base:

E_i=\frac{m_A v_A^2}{2}=\frac{0{,}5\cdot 16}{2}=4\ \text{J}

Logo após a colisão:

E_f=\frac{(m_A+m_B)V^2}{2}=\frac{2\cdot 1}{2}=1\ \text{J}

A energia dissipada é 4-1=3\ \text{J}. A fração dissipada é:

\frac{3}{4}=0{,}75

Foram dissipados 3/4 (75%) da energia inicial.

Assuntos: Colisões, Energia mecânica e sua conservação.

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Questão 9 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2004

Fonte: UFG 2ª etapa 2004 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗