Questão 10 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004

Question

Uma bóia de sinalização tem a forma de um cone invertido encimado por um hemisfério e está presa por um fio, de massa desprezível, ao fundo de um reservatório d’água, de maneira a ter apenas a parte cônica submersa, como mostra a figura. O cone tem altura h = 1\text{ m} e o raio de sua base, que é o mesmo do hemisfério, é R = 30\text{ cm}. A bóia é maciça e construída de um material de densidade \rho = 0{,}45\text{ g/cm}^3. Estime o valor da tensão no fio, considerando \pi = 3, g = 10\text{ m/s}^2 e a densidade da água \rho_{\text{A}} = 1{,}0\text{ g/cm}^3.

Boia de sinalização em forma de cone invertido de altura h encimado por hemisfério de raio R, com a parte cônica submersa na água e presa na ponta inferior por um fio.

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004

2º dia · Física: Empuxo e princípio de Arquimedes

Uma bóia de sinalização tem a forma de um cone invertido encimado por um hemisfério e está presa por um fio, de massa desprezível, ao fundo de um reservatório d’água, de maneira a ter apenas a parte cônica submersa, como mostra a figura. O cone tem altura h = 1\text{ m} e o raio de sua base, que é o mesmo do hemisfério, é R = 30\text{ cm}. A bóia é maciça e construída de um material de densidade \rho = 0{,}45\text{ g/cm}^3. Estime o valor da tensão no fio, considerando \pi = 3, g = 10\text{ m/s}^2 e a densidade da água \rho_{\text{A}} = 1{,}0\text{ g/cm}^3.

Boia de sinalização em forma de cone invertido de altura h encimado por hemisfério de raio R, com a parte cônica submersa na água e presa na ponta inferior por um fio.

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

Volume da bóia:

\text{V}_{\text{b}} = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\pi\text{R}^3\right) + \frac{\pi\text{R}^2\text{h}}{3}

Peso da bóia:

\text{P} = \rho\text{gV}_{\text{b}}

O empuxo equivale ao peso do volume de líquido deslocado:

\text{E} = \rho_{\text{a}}\text{gV}_{\text{cone}}

As forças sobre a bóia são o empuxo para cima e a tensão e o peso para baixo:

\text{E} - \text{P} - \text{T} = 0

\text{T} = \text{E} - \text{P} = \rho_{\text{a}}\text{g}\frac{\pi\text{R}^2\text{h}}{3} - \rho\text{g}\frac{2}{3}\pi\text{R}^3 - \rho\text{g}\frac{\pi\text{R}^2\text{h}}{3}

\text{T} = \frac{\pi\text{gR}^2}{3}[(\rho_{\text{a}} - \rho)\text{h} - 2\rho\text{R}]

\text{T} = \frac{3\text{x}10}{3}\text{x}(0{,}3)^2\text{x}(550 - 2\text{x}450\text{x}0{,}3) = 0{,}9\text{x}(550 - 270) = 9 \times 28 = 252\text{N} \approx 250\text{N} \therefore \text{T} = 250\text{N}

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Resolução comentada

a) Três forças atuam na bóia: o peso P (para baixo), o empuxo E (para cima) e a tensão T no fio, que puxa para baixo, pois o fio a prende ao fundo. Como a bóia está em equilíbrio:

E = P + T \Rightarrow T = E - P

Volumes (com \pi = 3, R = 0{,}3\ \text{m}, h = 1\ \text{m}):

Cone: V_c = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3}\cdot 3\cdot 0{,}09\cdot 1 = 0{,}09\ \text{m}^3
Hemisfério: V_h = \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\cdot 3\cdot 0{,}027 = 0{,}054\ \text{m}^3
Volume total: V = 0{,}09 + 0{,}054 = 0{,}144\ \text{m}^3

Peso. A bóia é maciça, com \rho = 0{,}45\ \text{g/cm}^3 = 450\ \text{kg/m}^3 e volume total V:

P = \rho V g = 450\cdot 0{,}144\cdot 10 = 648\ \text{N}

Empuxo. Só o cone está submerso, então o volume de água deslocado é V_c. Com \rho_A = 1000\ \text{kg/m}^3:

E = \rho_A V_c g = 1000\cdot 0{,}09\cdot 10 = 900\ \text{N}

Tensão no fio:

T = E - P = 900 - 648 = 252\ \text{N}

T = 252\ \text{N} (aproximadamente 2{,}5\times 10^2\ \text{N})

Assuntos: Empuxo e princípio de Arquimedes, Equilíbrio do ponto material.

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Questão 10 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2004

Fonte: UFG 2ª etapa 2004 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗