Questão 22 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2004

Question

Quatro cargas elétricas puntiformes estão fixas nos vértices de um quadrado, como mostra a figura.

Plano cartesiano em centímetros mostrando quatro cargas elétricas fixas nos vértices de um quadrado sobre os eixos: +2 µC em (0, 3), -3 µC em (3, 0), +4 µC em (0, -3) e -1 µC em (-3, 0). Uma trajetória semicircular orientada por uma seta no topo liga o ponto A em (-4, 0) ao ponto B em (4, 0), passando por (0, 4).

Calcule o trabalho necessário para transportar uma carga puntiforme de - 7\text{ }\boldsymbol{\text{µ}}\text{C} do ponto A até o ponto B, ao longo da semicircunferência indicada na figura.

Dado: k = 9\text{x}10^9\text{ Nm}^2/\text{C}^2

(5,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 22 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2004

2º dia · Física: Potencial elétrico e energia potencial elétrica

Quatro cargas elétricas puntiformes estão fixas nos vértices de um quadrado, como mostra a figura.

Plano cartesiano em centímetros mostrando quatro cargas elétricas fixas nos vértices de um quadrado sobre os eixos: +2 µC em (0, 3), -3 µC em (3, 0), +4 µC em (0, -3) e -1 µC em (-3, 0). Uma trajetória semicircular orientada por uma seta no topo liga o ponto A em (-4, 0) ao ponto B em (4, 0), passando por (0, 4).

Calcule o trabalho necessário para transportar uma carga puntiforme de - 7\text{ }\boldsymbol{\text{µ}}\text{C} do ponto A até o ponto B, ao longo da semicircunferência indicada na figura.

Dado: k = 9\text{x}10^9\text{ Nm}^2/\text{C}^2

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

O potencial gerado num ponto por uma carga puntual é dado por \text{V} = \frac{\text{K q}}{\text{r}} em que r é a distância da carga ao ponto.

O trabalho para mover uma carga de um ponto A para um ponto B não depende da trajetória, mas tão somente da diferença de potencial entre os dois pontos.

\tau = \text{q} (\text{V}_{\text{B}} - \text{V}_{\text{A}})

As cargas de +2\mu\text{C} e +4\mu\text{C} estão eqüidistantes dos pontos A e B e podem, portanto ser ignoradas.

Tem-se então:

\text{V}_{\text{B}} = 9 \times 10^9 (\frac{-1 \times 10^{-6}}{7 \times 10^{-2}} + \frac{-3 \times 10^{-6}}{1 \times 10^{-2}}) = \frac{-9 \times 22}{7} \times 10^5\text{ V}

\text{V}_{\text{A}} = 9 \times 10^9 (\frac{-1 \times 10^{-6}}{1 \times 10^{-2}} + \frac{-3 \times 10^{-6}}{7 \times 10^{-2}}) = \frac{-9 \times 10}{7} \times 10^5\text{ V}

\tau = (-7 \times 10^{-6}) \times (\frac{-9 \times 22}{7} \times 10^5 + \frac{9 \times 10}{7} \times 10^5) \Rightarrow \tau = 10{,}8\text{J}

(5,0 pontos)

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Resolução comentada

a)

O campo elétrico é conservativo, então o trabalho não depende da trajetória, só dos potenciais nos pontos A e B. O trabalho necessário (da força externa, que leva a carga sem variar sua energia cinética) é

W = q\,(V_B - V_A)

O potencial de cada ponto é a soma dos potenciais das quatro cargas, V = k\sum \dfrac{Q_i}{d_i}.

Distâncias (em cm):

De A(-4,0): até +2\,\mu\text{C} em (0,3): 5 (triângulo 3-4-5); até -3\,\mu\text{C} em (3,0): 7; até +4\,\mu\text{C} em (0,-3): 5; até -1\,\mu\text{C} em (-3,0): 1.
De B(4,0): até +2\,\mu\text{C}: 5; até -3\,\mu\text{C}: 1; até +4\,\mu\text{C}: 5; até -1\,\mu\text{C}: 7.

Potenciais (com d em metros, ou seja, \mu\text{C}/\text{cm} vira 10^{-6}/10^{-2}):

V_A = k\cdot 10^{-6}\left(\frac{2}{0{,}05}-\frac{3}{0{,}07}+\frac{4}{0{,}05}-\frac{1}{0{,}01}\right)=k\cdot10^{-6}\left(-\frac{160}{7}\right)

V_B = k\cdot 10^{-6}\left(\frac{2}{0{,}05}-\frac{3}{0{,}01}+\frac{4}{0{,}05}-\frac{1}{0{,}07}\right)=k\cdot10^{-6}\left(-\frac{1360}{7}\right)

Diferença de potencial:

V_B-V_A = 9\times10^{9}\cdot10^{-6}\left(-\frac{1200}{7}\right)\approx -1{,}54\times10^{6}\ \text{V}

Trabalho:

W = (-7\times10^{-6})\left(-\frac{1200}{7}\cdot 9\times10^{3}\right) = 1200\cdot 9\times10^{3}\cdot10^{-6}=10{,}8\ \text{J}

Como a carga negativa vai para um ponto de menor potencial, ela ganha energia potencial. Por isso o agente externo realiza trabalho positivo (o campo realiza -10{,}8\ \text{J}).

Trabalho necessário: W = 10{,}8\ \text{J}

Assunto: Potencial elétrico e energia potencial elétrica.

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Questão 22 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2004

Fonte: UFG 2ª etapa 2004 · 2º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗