Questão 21 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2004

Question

O esquema da figura representa um cilindro de paredes adiabáticas, exceto a base, a qual é diatérmica e tem uma área de 100\ \text{cm}^2. A parte superior do cilindro é fechada por um pistão de 50\ \text{kg}, também adiabático, que pode mover-se livremente, mantendo confinada dentro do cilindro uma certa quantidade de gás ideal monoatômico em equilíbrio. O gás é aquecido por meio de uma chama colocada sob a base do recipiente até que o pistão se eleve 10\ \text{cm}.

Dados: 1\ \text{atm} \cong 10^5\ \text{N/m}^2 e g = 10\ \text{m/s}^2

Cilindro com paredes adiabáticas e base diatérmica contendo gás, fechado na parte superior por um pistão com um peso sobre ele e aquecido por uma chama na base.

Calcule:

a) O trabalho realizado pelo gás sobre o pistão. (2,0 pontos)

b) A variação da energia interna do gás. (2,0 pontos)

c) O calor transferido pela chama para o gás. (1,0 ponto)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 21 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2004

2º dia · Física: Primeira lei da termodinâmica

O esquema da figura representa um cilindro de paredes adiabáticas, exceto a base, a qual é diatérmica e tem uma área de 100\ \text{cm}^2. A parte superior do cilindro é fechada por um pistão de 50\ \text{kg}, também adiabático, que pode mover-se livremente, mantendo confinada dentro do cilindro uma certa quantidade de gás ideal monoatômico em equilíbrio. O gás é aquecido por meio de uma chama colocada sob a base do recipiente até que o pistão se eleve 10\ \text{cm}.

Dados: 1\ \text{atm} \cong 10^5\ \text{N/m}^2 e g = 10\ \text{m/s}^2

Cilindro com paredes adiabáticas e base diatérmica contendo gás, fechado na parte superior por um pistão com um peso sobre ele e aquecido por uma chama na base.

Calcule:

a) O trabalho realizado pelo gás sobre o pistão. (2,0 pontos)

b) A variação da energia interna do gás. (2,0 pontos)

c) O calor transferido pela chama para o gás. (1,0 ponto)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

p_0 = 1\text{ atm} = 10^5\ \frac{\text{N}}{\text{m}^2}; \quad g = 10\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}

a) A pressão do gás é dada pela pressão atmosférica acrescida daquela devida ao peso do pistão.

p = p_0 + \frac{mg}{A} = 10^5 + \frac{50 \times 10}{10^{-2}} \Rightarrow p = 1{,}5 \times 10^5\ \frac{\text{N}}{\text{m}^2}

\Delta V = \text{base} \times \text{altura} = (100 \times 10^{-4}) \times (10 \times 10^{-2}) = 10^{-3}\ \text{m}^3

O trabalho a pressão constante é dado por:

\tau = p\ \Delta V

\tau = 1{,}5 \times 10^5 \times 10^{-3} \Rightarrow \tau = 150\text{J}

(2,0 pontos)

b) pV = nRT;

U = \frac{3}{2}nRT

No processo isobárico, a variação da temperatura está diretamente relacionada à variação do volume:

\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T = \frac{3}{2}p\Delta V = \frac{3 \times 150}{2} \Rightarrow \Delta U = 225\text{J}

(2,0 pontos)

c) Pela primeira lei da termodinâmica:

Q = \Delta U + \tau

Q = 225\text{J} + 150\text{J} \Rightarrow Q = 375\text{J}

(1,0 ponto)

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Resolução comentada

a)

O gás precisa sustentar o peso do pistão e vencer a força exercida pela atmosfera. Assim, considerando a pressão atmosférica de 1\ \text{atm}, o equilíbrio do pistão fornece:

pA=p_{\text{atm}}A+mg\quad\Rightarrow\quad p=p_{\text{atm}}+\frac{mg}{A}.

Convertendo a área para o SI, A=100\ \text{cm}^2=1{,}0\times10^{-2}\ \text{m}^2. Logo,

p=10^5+\frac{50\cdot10}{1{,}0\times10^{-2}}=1{,}5\times10^5\ \text{Pa}.

Como o peso e a pressão atmosférica não variam, a expansão é isobárica. A elevação de 10\ \text{cm}=0{,}10\ \text{m} produz a variação de volume

\Delta V=A\Delta h=(1{,}0\times10^{-2})(0{,}10)=1{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3.

O trabalho da força exercida pelo gás sobre o pistão é, portanto,

W=p\Delta V=(1{,}5\times10^5)(1{,}0\times10^{-3})=150\ \text{J}.

Esse trabalho inclui tanto a elevação do pistão quanto o deslocamento da atmosfera acima dele.

O trabalho realizado pelo gás é W=150\ \text{J}.

b)

Para um gás ideal monoatômico, a energia interna está associada à energia cinética de translação das partículas e é dada por

U=\frac{3}{2}nRT.

Usando a equação dos gases ideais, pV=nRT, podemos escrever U=\frac{3}{2}pV. Como a quantidade de gás é fixa e a transformação ocorre a pressão constante,

\Delta U=\frac{3}{2}\Delta(pV)=\frac{3}{2}p\Delta V.

O produto p\Delta V já foi calculado no item anterior e vale 150\ \text{J}. Portanto,

\Delta U=\frac{3}{2}\cdot150=225\ \text{J}.

O resultado positivo indica aumento da temperatura e, consequentemente, da energia interna do gás.

A variação da energia interna é \Delta U=+225\ \text{J}.

c)

Pela primeira lei da termodinâmica, o calor recebido pelo gás é utilizado para aumentar sua energia interna e para realizar trabalho sobre o meio externo. Adotando W>0 para o trabalho realizado pelo gás,

\Delta U=Q-W\quad\Rightarrow\quad Q=\Delta U+W.

Embora as paredes laterais e o pistão sejam adiabáticos, a base é diatérmica: é por ela que o gás recebe calor da chama. Substituindo os resultados anteriores,

Q=225+150=375\ \text{J}.

O calor transferido pela chama para o gás é Q=375\ \text{J}.

Assuntos: Primeira lei da termodinâmica, Gases ideais e transformações gasosas.

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Questão 21 no caderno Grupo 2 da 2ª etapa da UFG 2004

Fonte: UFG 2ª etapa 2004 · 2º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗