Questão 15 (2º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2004

Resolução comentada

a) Pela reflexão em espelho plano, a imagem fica à mesma distância x atrás do espelho, ou seja, a 2x do homem. Seguindo a figura, o olho está na altura H (topo da cabeça) e o topo do espelho está à altura do olho.

Para ver os pés da imagem, o raio visual sai do olho, passa pela borda inferior do espelho e chega aos pés da imagem. Isso dá dois triângulos retângulos semelhantes, com o ângulo no olho em comum:

1. Triângulo grande: vértice no olho, catetos 2x (horizontal, até a imagem) e H (vertical, do olho até a altura dos pés).
2. Triângulo pequeno: vértice no olho, catetos x (horizontal, até o espelho) e h (vertical, do olho até a borda inferior do espelho).

Pela semelhança:

O espelho precisa ter metade da altura do homem e sua borda inferior deve estar na altura H/2 do chão.

h=\dfrac{H}{2}

b) Na proporção anterior, x aparece no numerador (distância do olho ao espelho) e no denominador (distância do olho à imagem, que é x+x=2x). Assim:

O fator x se cancela. A razão h/H vale sempre \tfrac12, para qualquer x>0. Portanto a altura mínima do espelho depende só de H, e a distância do homem ao espelho não interfere em ver a imagem completa.

Como \dfrac{h}{H}=\dfrac{x}{2x}=\dfrac12, o x se cancela e h=H/2 para qualquer distância.

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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