Questão 11 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004

Question

O esquema da figura mostra uma experiência em que pouco a pouco se adiciona areia ao balde que tenciona o fio, até que o som emitido pelo fio, quando tangido, produza, no interior de um tubo aberto na parte superior e fechado na parte de baixo, ondas estacionárias ressonantes no modo fundamental.
A densidade linear do fio é de 5\text{ g/m}, a distância entre a roldana e a parede é de 30{,}0\text{ cm} e o tubo tem 42{,}5\text{ cm} de comprimento. Considerando a velocidade do som no ar 340\text{ m/s} e a aceleração da gravidade 10\text{ m/s}^2, calcule:

Esquema do aparato experimental: um fio horizontal de 30,0 cm estendido da parede até uma roldana presa ao teto, sustentando um balde com areia de massa m na extremidade vertical pendurada. Abaixo do fio horizontal, encontra-se um tubo vertical fechado na base e aberto no topo, com comprimento de 42,5 cm.

a) a freqüência da onda sonora produzida; (3,0 pontos)

b) a massa total do balde com areia, quando ocorre a ressonância. (2,0 pontos)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (2º dia · Grupo 1) da 2ª etapa da UFG 2004

2º dia · Física: Ondas estacionárias: cordas vibrantes e tubos sonoros

O esquema da figura mostra uma experiência em que pouco a pouco se adiciona areia ao balde que tenciona o fio, até que o som emitido pelo fio, quando tangido, produza, no interior de um tubo aberto na parte superior e fechado na parte de baixo, ondas estacionárias ressonantes no modo fundamental.
A densidade linear do fio é de 5\text{ g/m}, a distância entre a roldana e a parede é de 30{,}0\text{ cm} e o tubo tem 42{,}5\text{ cm} de comprimento. Considerando a velocidade do som no ar 340\text{ m/s} e a aceleração da gravidade 10\text{ m/s}^2, calcule:

Esquema do aparato experimental: um fio horizontal de 30,0 cm estendido da parede até uma roldana presa ao teto, sustentando um balde com areia de massa m na extremidade vertical pendurada. Abaixo do fio horizontal, encontra-se um tubo vertical fechado na base e aberto no topo, com comprimento de 42,5 cm.

a) a freqüência da onda sonora produzida; (3,0 pontos)

b) a massa total do balde com areia, quando ocorre a ressonância. (2,0 pontos)

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Resolução comentada

Resposta esperada pela UFG

a) O comprimento de onda do modo fundamental (n=1) de um tubo aberto numa extremidade e fechado na outra é dada por:

\lambda = \frac{4\text{ L}}{\text{n}} = 4\text{ L}

\text{como } \text{f}_{\text{tubo}} = \frac{\text{v}_{\text{som}}}{\lambda}

\text{temos } \text{f}_{\text{tubo}} = \frac{\text{v}_{\text{som}}}{4\text{ L}} = 200\text{ Hz}

(3,0 pontos)

b) A freqüência na corda fixa nas duas extremidades é dada por:

\text{f}_{\text{corda}} = \frac{\text{v}_{\text{corda}}}{2\text{L}} = \text{f}_{\text{tubo}}

\text{como:} \qquad \text{v}_{\text{corda}} = \sqrt{\frac{\text{T}}{\mu}} \qquad \text{e} \qquad \text{T} = \text{mg}

Logo:

\text{m} = \frac{4\text{L}^2 \text{f}_{\text{tubo}}^2 \mu}{\text{g}} = \frac{4 \times 3^2 \times 10^{-2} \times 2^2 \times 10^4 \times 5 \times 10^{-3}}{10} \Rightarrow \text{m} = 7{,}2\text{ kg}

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Resolução comentada

a) O tubo é fechado embaixo e aberto em cima. Na parte fechada há um nó de deslocamento e na aberta há um ventre. No modo fundamental cabe, portanto, um quarto de comprimento de onda no tubo:

L=\frac{\lambda}{4}\Rightarrow \lambda = 4\cdot 0{,}425 = 1{,}70\ \text{m}

A frequência vem da relação v=\lambda f:

f=\frac{v}{\lambda}=\frac{340}{1{,}70}=200\ \text{Hz}

O fio, ao ser tangido, vibra com essa mesma frequência, pois é ele que excita a coluna de ar em ressonância.

Resposta: f = 200\ \text{Hz}.

b) O fio está fixo na parede e na roldana, a 30{,}0 cm uma da outra. Tangido, ele vibra no modo fundamental, com um ventre entre dois nós:

\lambda_{fio}=2\cdot 0{,}30=0{,}60\ \text{m}

A velocidade da onda no fio é:

v_{fio}=\lambda_{fio}\, f = 0{,}60\cdot 200 = 120\ \text{m/s}

Para uma corda, v=\sqrt{T/\mu}, com \mu = 5\ \text{g/m}=5\times10^{-3}\ \text{kg/m}. Logo:

T=\mu v^2 = 5\times 10^{-3}\cdot 120^2 = 72\ \text{N}

O balde está em equilíbrio, então a tração é igual ao seu peso:

T=mg\Rightarrow m=\frac{72}{10}=7{,}2\ \text{kg}

Resposta: m = 7{,}2\ \text{kg}.

Assuntos: Ondas estacionárias: cordas vibrantes e tubos sonoros, Ondas sonoras e acústica.

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Questão 11 no caderno Grupo 1 da 2ª etapa da UFG 2004

Fonte: UFG 2ª etapa 2004 · 2º dia · Grupo 1. Prova oficial ↗