PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 22 (1º exame) da UERJ 2015

1º exame · Matemática · Matemática: Progressão aritmética

Tirinha de Peanuts com quatro quadrinhos com a personagem Patty Pimentinha sentada em sua carteira escolar. No primeiro quadrinho, ela lê um enunciado: "Ao dirigir da cidade A para a cidade D, você passa primeiro pela cidade B e depois pela cidade C.". No segundo, continua lendo: "Há 10 quilômetros a mais de A até B do que de B até C, e 10 quilômetros a mais de B até C do que de C até D. Se A fica a 390 quilômetros de distância de D, qual é a distância entre a cidade A e a cidade B?". No terceiro, ela comenta com o colega ao lado: "Sabia que isso iria acontecer mais cedo ou mais tarde.", ao que ele pergunta: "O quê?". No quarto quadrinho, ela deita a cabeça desanimada sobre a carteira e diz: "Minha educação encalhou!".

Adaptado de leceblog.blogspot.com.

Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em quilômetros, d_{\text{AB}}, d_{\text{BC}} e d_{\text{CD}} formam, nesta ordem, uma progressão aritmética.

O vigésimo termo dessa progressão corresponde a:

  1. A
    -50
  2. B
    -40
  3. C
    -30
  4. D
    -20
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Resolução comentada

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é o anterior somado a uma razão constante r.

O texto diz que A→B tem 10 km a mais que B→C, e B→C tem 10 km a mais que C→D. Então a PA é decrescente, com razão r=-10:

d_{AB}=x+10+10,\quad d_{BC}=x+10,\quad d_{CD}=x

A distância total de A até D é a soma dos três trechos, que é 390 km:

  1. (x+20)+(x+10)+x=390
  2. 3x+30=390
  3. 3x=360 \Rightarrow x=120

Logo, d_{CD}=120, d_{BC}=130 e d_{AB}=140. A PA é (140,\ 130,\ 120,\dots), com a_1=140 e r=-10.

O termo geral da PA é a_n=a_1+(n-1)\,r. Para n=20:

a_{20}=140+19\cdot(-10)=140-190=-50

O termo é negativo, o que não faz sentido como distância. Mas a pergunta é sobre a progressão como sequência matemática, não sobre o trajeto.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Busa 18 termos de avanço em vez de 19, ou erra a conta do primeiro termo, chegando a -40.
  • Cresulta de usar n-1=18 ou de erro semelhante no termo geral, dando -30.
  • Dcorresponde a 140+17\cdot(-10), contando termos de menos.

Assunto: Progressão aritmética.

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Ver como caiu na prova Questão 22 no caderno 1º Exame de Qualificação da UERJ 2015

Fonte: UERJ 2015 · 1º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗