PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 42 (1º exame) da UERJ 2013

1º exame · Ciências da Natureza e Matemática · Matemática: Esfera

Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de sabão unidas.

Duas bolhas de sabão unidas de tamanhos diferentes, com reflexos coloridos em sua superfície.

Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de contato entre elas é plana, conforme ilustra o esquema:

Esquema representando duas bolhas esféricas unidas, uma azul à esquerda com centro A e outra amarela à direita com centro B, delimitadas por uma parede de contato plana circular vista de perfil.

Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, unidas de tal modo que a distância entre seus centros A e B é igual ao raio R.

A parede de contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte medida:

  1. A
    \frac{\pi R^2}{2}
  2. B
    \frac{3\pi R^2}{2}
  3. C
    \frac{3\pi R^2}{4}
  4. D
    \frac{4\pi R^2}{3}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A parede de contato fica no plano onde as duas esferas se cruzam. Esse plano é perpendicular ao segmento AB e passa pelo ponto médio M de AB, pois as esferas têm o mesmo raio. A interseção é um círculo, e precisamos do raio dele.

  1. Como AB = R, o ponto médio fica a AM = \frac{R}{2} do centro A.
  2. Seja P um ponto da borda do círculo de contato. Ele está na superfície da esfera de centro A, então AP = R.
  3. O triângulo AMP é retângulo em M, porque o plano de contato é perpendicular a AB. O raio r do círculo é o cateto MP.
  4. Por Pitágoras:
r^2 = R^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}
  1. A área do círculo é:
A = \pi r^2 = \frac{3\pi R^2}{4}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa r^2=R^2/2, sem aplicar corretamente Pitágoras com a distância R/2.
  • BChega a r^2 = 3R^2/2, valor maior que R^2, impossível pois o círculo não pode ter raio maior que o da esfera.
  • DValor 4\pi R^2/3 lembra o volume da esfera e dá raio maior que R, o que é impossível.

Assuntos: Esfera, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Ver como caiu na prova Questão 42 no caderno 1º Exame de Qualificação da UERJ 2013

Fonte: UERJ 2013 · 1º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗