PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 40 (2º exame) da UERJ 2013

2º exame · Ciências da Natureza e Matemática · Matemática: Identidades, adição de arcos e arco duplo

Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas com inclinações diferentes. As figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas \text{AB} = \text{CD} = \text{EF}, contidas nas retas de maior declive de cada rampa.

Três triângulos retângulos sobre uma mesma linha horizontal representando as rampas. O primeiro tem hipotenusa AB de comprimento a inclinada a 15° e altura h₁ no vértice A; o segundo tem hipotenusa CD de comprimento a inclinada a 45° e altura h₂ no vértice C; o terceiro tem hipotenusa EF de comprimento a inclinada a 75° e altura h₃ no vértice E. Todos possuem ângulo reto com o solo na base de suas respectivas alturas.

Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, respectivamente, h_1, h_2 e h_3, conclui-se que h_1 + h_2 é igual a:

  1. A
    h_3\sqrt{3}
  2. B
    h_3\sqrt{2}
  3. C
    2h_3
  4. D
    h_3
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Resolução comentada

Em cada rampa, a trajetória é a hipotenusa de um triângulo retângulo e a altura é o cateto oposto ao ângulo de inclinação. Pela definição de seno, h = a\,\sen\theta.

Assim:

  1. h_1 = a\,\sen 15^\circ
  2. h_2 = a\,\sen 45^\circ = a\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  3. h_3 = a\,\sen 75^\circ

Precisamos dos valores de \sen 15^\circ e \sen 75^\circ. Como 75^\circ e 15^\circ são complementares, \sen 75^\circ = \cos 15^\circ.

Usando \sen 15^\circ = \sen(45^\circ - 30^\circ):

\sen 15^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

Usando \sen 75^\circ = \sen(45^\circ + 30^\circ):

\sen 75^\circ = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Somando h_1 + h_2:

h_1 + h_2 = a\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} + \dfrac{2\sqrt{2}}{4}\right) = a\,\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Esse valor é exatamente a\,\sen 75^\circ = h_3.

Portanto, h_1 + h_2 = h_3.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AMultiplica h_3 por \sqrt{3}, valor sem relação com a soma \sen 15^\circ + \sen 45^\circ.
  • BMultiplica h_3 por \sqrt{2}, o que não resulta dos senos calculados.
  • CSupõe que h_1 + h_2 seja o dobro de h_3, mas h_1 < h_3 e h_2 < h_3 não permitem isso por esses valores.

Assuntos: Identidades, adição de arcos e arco duplo, Trigonometria no triângulo retângulo.

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Ver como caiu na prova Questão 40 no caderno 2º Exame de Qualificação da UERJ 2013

Fonte: UERJ 2013 · 2º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗