PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 34 (1º exame) da UERJ 2012

1º exame · Ciências da Natureza e Matemática · Matemática: Progressão aritmética

Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do dia, com o número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas senhas representavam uma progressão aritmética de números naturais consecutivos, começando em 37.

Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os números das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão aritmética.

Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, o número máximo de pessoas que pode ter permanecido na fila é:

  1. A
    6
  2. B
    7
  3. C
    9
  4. D
    12
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Resolução comentada

As senhas na fila, incluindo a do cliente, vão de 37 a 49, ou seja, são 13 números consecutivos: 37, 38, ..., 49. Antes das desistências, havia 12 pessoas à frente, e o cliente é a 13ª.

Depois das saídas, as senhas restantes formam uma nova PA, com 37 e 49 ainda presentes. Se a razão for r, os termos vão de 37 a 49 em passos de r, então r deve dividir a diferença:

49 - 37 = 12

A razão é um número natural que divide 12, ou seja, r \in \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}. Se r=1, ninguém saiu, o que contradiz o enunciado.

O número de termos da nova PA é n = \dfrac{12}{r} + 1:

  1. r=2: n = 7 pessoas.
  2. r=3: n = 5 pessoas.
  3. r=4: n = 4 pessoas.
  4. r=6: n = 3 pessoas.
  5. r=12: n = 2 pessoas.

O enunciado diz que mais de 4 pessoas desistiram. Antes eram 13 pessoas (contando o cliente), então devem restar menos de 13 - 4 = 9, isto é, no máximo 8. Com r=2 restam 7, e desistiram 6 pessoas, o que satisfaz a condição. Como r=1 não vale, o maior valor possível é 7.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A6 não é o número de termos de nenhuma PA possível entre 37 e 49 (com razão dividindo 12 os valores são 7, 5, 4, 3, 2).
  • C9 corresponderia a razão 1,5, que não é natural, e a PA precisaria ter 4 desistências ou menos.
  • D12 é o número de pessoas à frente na fila original, sem considerar as desistências.

Assuntos: Progressão aritmética, Divisibilidade, MMC e MDC.

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Ver como caiu na prova Questão 34 no caderno 1º Exame de Qualificação da UERJ 2012

Fonte: UERJ 2012 · 1º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗