Questão 22 (2º exame) da UERJ 2012

Em sólidos semelhantes, existe uma razão de semelhança k entre qualquer par de medidas lineares correspondentes (arestas, por exemplo). Nesse caso:

• as áreas ficam na razão k^2;
• os volumes ficam na razão k^3.

Passos:

1. O volume do pacote maior é o dobro do menor, então \frac{V_{maior}}{V_{menor}} = k^3 = 2.
2. Logo k = \sqrt[3]{2}.
3. A razão entre as áreas totais é k^2 = \left(\sqrt[3]{2}\right)^2 = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}.

Conferindo com as arestas: se o menor tem arestas a, b, c, o maior tem ka, kb, kc. A área total do menor é 2(ab+bc+ac) e a do maior é 2k^2(ab+bc+ac). A razão é k^2, como esperado.

Portanto, a razão entre as áreas totais é \sqrt[3]{4}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão há base para \sqrt[3]{3}: a razão de volumes é 2, e não 3, e a razão de áreas é k^2, não k ou outro valor.
• C\sqrt{6} não decorre de k^3=2; mistura expoentes sem relação com k^2.
• D\sqrt{8} vem de usar \sqrt{2^3}, trocando os papéis dos expoentes (raiz quadrada com o cubo).

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Prismas e paralelepípedos.

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