Questão 20 (1º semestre) do Sírio-Libanês 2027

Question

Considere as funções reais f(x) = 3^{\frac{x}{2} + 3k} e g(x) = \frac{5x - 2}{k - 4}, sendo k \neq 4 uma constante real. Dado que f(8) = \frac{1}{9}, o valor de g(k) é igual a:

A
1
B
-\frac{1}{2}
C
2
D
-\frac{1}{3}
E
-4

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (1º semestre) do Sírio-Libanês 2027

1º semestre · Matemática: Função exponencial

Considere as funções reais f(x) = 3^{\frac{x}{2} + 3k} e g(x) = \frac{5x - 2}{k - 4}, sendo k \neq 4 uma constante real. Dado que f(8) = \frac{1}{9}, o valor de g(k) é igual a:

A
1
B
-\frac{1}{2}
C
2
D
-\frac{1}{3}
E
-4

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Resolução comentada

Primeiro use a condição f(8)=\frac{1}{9} para achar k.

Substitua x=8: f(8)=3^{\frac{8}{2}+3k}=3^{4+3k}.
Escreva \frac{1}{9} como potência de 3: \frac{1}{9}=3^{-2}.
Como a base é a mesma, os expoentes são iguais: 4+3k=-2, logo 3k=-6 e k=-2.

O valor k=-2 respeita a condição k\neq 4.

Agora calcule g(k)=g(-2), com k-4=-2-4=-6:

g(-2)=\frac{5\cdot(-2)-2}{-6}=\frac{-12}{-6}=2

A função exponencial é injetiva, e por isso podemos igualar os expoentes. O cuidado está no denominador de g, que usa o mesmo k (valendo -2) e não x.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AErra o valor de k ou o sinal na conta, não chegando a -12/-6.
BNão corresponde ao cálculo correto de g(-2); resulta de erro de sinal ou de k.
DNão corresponde a nenhum cálculo correto; provavelmente erro ao determinar k.
EIgnora o sinal negativo do denominador, ou usa o numerador errado, em vez de -12/-6=2.

Assunto: Função exponencial.

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Questão 20 no caderno Prova II do Sírio-Libanês 2027

Fonte: Sírio-Libanês 2027 · 1º semestre · Prova II. Prova oficial ↗