Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2025

Resolução comentada

Cada elemento de U pode ser analisado de forma independente, pois a condição C \subseteq A \cup B vale se, e somente se, vale para cada elemento: se x \in C, então x \in A ou x \in B.

Para um elemento x fixo, ele tem duas escolhas em cada conjunto (pertence ou não), o que dá 2\cdot2\cdot2=8 combinações de (x\in A,\ x\in B,\ x\in C). Vamos descartar as proibidas.

1. Proibidas: x \in C, x \notin A e x \notin B. Só há 1 combinação assim.
2. Permitidas: 8 - 1 = 7 combinações por elemento.

Como os 5 elementos são independentes, pelo princípio multiplicativo:

Conferindo com os casos: se x\notin C, há 4 combinações de A e B (todas valem); se x\in C, restam 3 (exclui-se x\notin A e x\notin B). Total 4+3=7.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BInverte base e expoente: seriam 5 escolhas para cada um de 7 objetos, o que não corresponde ao problema.
• CExpoente e base sem relação com a contagem por elemento; não há justificativa para 5^6.
• DUsa 6 opções por elemento, descartando mais de uma combinação proibida; só 1 das 8 é proibida.
• EUsa 5 opções por elemento, descartando 3 combinações em vez de apenas 1.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Conjuntos e conjuntos numéricos.

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