Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2023

Question

Em um torneio de tênis, cada jogador foi escalado para jogar contra cada um dos outros jogadores uma única vez. Entretanto, durante o evento, três jogadores desistiram do torneio. Sabemos que cada um dos desistentes jogou duas partidas. Se o torneio teve exatamente 50 jogos, quantos jogadores começaram o torneio?

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Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2023

Nível 3 · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Em um torneio de tênis, cada jogador foi escalado para jogar contra cada um dos outros jogadores uma única vez. Entretanto, durante o evento, três jogadores desistiram do torneio. Sabemos que cada um dos desistentes jogou duas partidas. Se o torneio teve exatamente 50 jogos, quantos jogadores começaram o torneio?

A
10
B
11
C
12
D
13
E
14

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Vamos chamar de “permanecentes” os jogadores que foram até o fim do torneio, e “desistentes” os jogadores que desistiram do torneio.

Suponha que há N permanecentes. Esses jogadores jogaram N \times (N-1) /2 partidas entre si.

Suponha que os três desistentes jogaram k partidas entre si, com k = 0, 1, 2 ou 3, e, as demais, quando necessário para completar duas partidas cada um, com alguns dos permanecentes.

Vamos calcular quantas partidas os três desistentes jogaram com os demais jogadores. Se jogaram k partidas entre si, isso dá 2k partidas para a soma de partidas dos desistentes. Como essa soma é 3 \times 2 = 6 (cada um jogou duas partidas), eles têm que ter jogado 6 - 2k partidas com os permanecentes.

Assim, temos: [(N) \times (N-1)/2] + 6 - 2k + k = 50, ou seja, N \times (N-1)/2 = 44 + k

O lado direito é um número entre 44 + 0 = 44 e 44 + 3 = 47. O lado esquerdo é, para N = 1, 2, 3\text{...} igual a: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, \text{...} A única possibilidade para N e k, portanto, é N = 10 e k = 1, quando temos 10 \times 9/2 = 45 partidas somente entre permanecentes, uma partida entre desistentes (k = 1), e quatro partidas entre algum desistente e algum permanecente (6 - 2 \times 1 = 4). No total, temos 45 + 1 + 4 = 50 partidas jogadas.

Logo, o total de jogadores no início do torneio era 10 + 3 = 13.

Podemos também pensar em resolver o problema estimando o número de jogadores permanecentes; esse número não pode ser 11 ou mais, pois, só entre eles, seriam jogados 11 \times 10/2 = 55 jogos ou mais, ultrapassando 50. O número de permanecentes também não poderia ter sido 9 ou menos senão, entre eles, seriam jogados 9.8/2 = 36 jogos e, mesmo contando com os jogos dos desistentes, daria menos do que 50 jogos no total. Logo, o número de permanecentes deve ser 10 e, com apenas um jogo entre os desistentes e 4 jogos entre os desistentes e permanecentes, totalizaríamos 50.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Seja n o número de jogadores que começaram o torneio. Se ninguém desistisse, o total seria \binom{n}{2} jogos. Os três desistentes jogaram só duas partidas cada, e as partidas não jogadas foram canceladas.

Vamos contar os jogos que de fato aconteceram, separando em dois grupos:

Jogos entre os n-3 jogadores que ficaram: \binom{n-3}{2} (todos se enfrentaram, pois nenhum desistiu).
Jogos que envolvem pelo menos um desistente: cada desistente jogou 2 partidas, o que dá 3\cdot 2 = 6 contagens. Se dois desistentes se enfrentaram, essa partida foi contada duas vezes, então precisamos saber quantas partidas houve entre eles.

Supondo que os desistentes jogaram só entre si (3 jogos, cada um contra os outros dois), cada um jogou exatamente 2 partidas, e o total seria \binom{n-3}{2}+3=50, isto é, \binom{n-3}{2}=47, que não é número triangular. Não serve.

Se eles não jogaram entre si, são 6 jogos com os que ficaram: \binom{n-3}{2}+6=50, logo \binom{n-3}{2}=44, que também não é possível, pois \binom{m}{2} vale 45 para m=10.

Com um jogo entre dois desistentes: a soma 6 conta esse jogo duas vezes, então são 5 jogos distintos, e \binom{n-3}{2}=45. Daí \frac{(n-3)(n-4)}{2}=45, ou seja, (n-3)(n-4)=90=10\cdot 9, logo n-3=10 e n=13.

Verificação: com n=13, são 45+5=50 jogos. ✓

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A engana quem acha \binom{10}{2}=45 e esquece de somar os 3 jogadores desistentes ao número de 10 que sobraram.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConfunde n-3=10 (jogadores restantes) com o total inicial de jogadores.
BNão corresponde a nenhuma configuração possível: \binom{8}{2}=28 não fecha 50 jogos.
CCom 12 jogadores restam 9, que dão 36 jogos entre eles, e não é possível completar 50 com as partidas dos desistentes (no máximo 6).
ECom 14 jogadores restam 11, que dão 55 jogos, já acima de 50.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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Questão 20 no caderno Nível 3 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 3. Prova oficial ↗