Questão 17 (Nível 1) da OBMEP 2023

Question

Paulinho tem um relógio que só tem o ponteiro das horas. Um dia ele saiu de casa pela manhã quando o ponteiro das horas apontava exatamente para o 32^o minuto, conforme mostrado na figura. Ao voltar para casa à tarde, o ponteiro das horas apontava exatamente para o 11^o minuto. Quanto tempo ele esteve fora de casa?

Relógio analógico circular numerado de 1 a 12, com 60 marcações de minutos na borda, sendo as marcações correspondentes às horas destacadas em vermelho. Possui apenas um ponteiro, o das horas, que aponta exatamente para a segunda marcação de minuto após o número 6 (o 32º minuto), com uma linha tracejada estendendo a direção do ponteiro até essa marcação.

A
6h 32min
B
7h 24min
C
7h 39min
D
7h 48min
E
8h 21min

Answer 1

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Questão 17 (Nível 1) da OBMEP 2023

Nível 1 · Matemática: Unidades de medida e conversões

Paulinho tem um relógio que só tem o ponteiro das horas. Um dia ele saiu de casa pela manhã quando o ponteiro das horas apontava exatamente para o 32^o minuto, conforme mostrado na figura. Ao voltar para casa à tarde, o ponteiro das horas apontava exatamente para o 11^o minuto. Quanto tempo ele esteve fora de casa?

Relógio analógico circular numerado de 1 a 12, com 60 marcações de minutos na borda, sendo as marcações correspondentes às horas destacadas em vermelho. Possui apenas um ponteiro, o das horas, que aponta exatamente para a segunda marcação de minuto após o número 6 (o 32º minuto), com uma linha tracejada estendendo a direção do ponteiro até essa marcação.

A
6h 32min
B
7h 24min
C
7h 39min
D
7h 48min
E
8h 21min

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: O ponteiro das horas funciona normalmente. Portanto, na ilustração vemos que são 6 horas e alguma coisa. Entre duas horas consecutivas existem 4 traços e 5 espaços consecutivos, logo o avanço do ponteiro das horas de um tracinho para o seguinte representa 1/5 de uma hora, ou seja, 12 minutos. Como Paulinho saiu de casa no 32^o minuto, ele saiu às 6 horas e 2 \times 12 = 24 minutos. Ele voltou quando o ponteiro das horas estava sobre o 11^o minuto, ou seja, ele voltou às 2 horas e 12 minutos da tarde ou, mais comumente, 14 horas e 12 minutos. Para achar a diferença entre esses dois horários, podemos considerar 14 horas e 12 minutos como 13 horas e 60 + 12 = 72 minutos. Temos 13\text{ h } 72\text{ min} - 6\text{ h } 24\text{ min} = 7\text{ h } 48\text{ min}, tempo em que Paulinho esteve fora de casa.

[Figura: dois relógios apenas com o ponteiro das horas e divisões de minutos no contorno; no primeiro relógio, o ponteiro aponta entre o 6 e o 7, na marca de 32 minutos; no segundo relógio, o ponteiro aponta entre o 2 e o 3, na marca de 11 minutos]

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Resolução comentada

O ponteiro das horas dá uma volta completa (60 marcações de minuto) em 12 h. Logo, cada marcação corresponde a \frac{12\ \text{h}}{60} = 12\ \text{min} de tempo real.

Saída (manhã): o ponteiro está na marcação 32. Como 32 \times 12 = 384\ \text{min} = 6\ \text{h}\ 24\ \text{min}, o horário é 6h24 (coerente com a figura, entre o 6 e o 7, perto do 6). A marcação 30 seria 6h, e a 32 fica 2 marcações depois, ou seja, 6h + 24 min.

Volta (tarde): o ponteiro está na marcação 11, que corresponde a 11 \times 12 = 132\ \text{min} = 2\ \text{h}\ 12\ \text{min}. Na posição 11 o ponteiro marca 2h12, mas como é à tarde, o horário é 14h12.

Tempo fora de casa:

De 6h24 até 12h: 5\ \text{h}\ 36\ \text{min}.
De 12h até 14h12: 2\ \text{h}\ 12\ \text{min}.
Total: 5\ \text{h}\ 36\ \text{min} + 2\ \text{h}\ 12\ \text{min} = 7\ \text{h}\ 48\ \text{min}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASubtrai 32 de 11 e interpreta os números diretamente como horas e minutos, sem converter cada marcação em 12 min.
BErra a conversão de uma das posições ou do intervalo entre manhã e tarde, chegando a 7h24.
CSoma ou subtrai marcações (32 e 11) como minutos comuns, sem a conversão correta para o tempo real.
EErra a leitura de um dos horários, resultando em 8h21, que não decorre da conversão de 12 min por marcação.

Assunto: Unidades de medida e conversões.

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Questão 17 no caderno Nível 1 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 1. Prova oficial ↗