Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2015

Question

Uma lata cilíndrica, fechada embaixo e aberta na parte de cima, tem altura de 17 cm e sua borda é uma circunferência de comprimento 30 cm. Na superfície interna da lata, a 4 cm da borda superior, há uma mosca parada (ponto M). Na superfície externa da lata, a 1 cm da base e no mesmo plano que passa pela mosca e que divide a lata em duas partes iguais, encontra-se uma aranha (ponto A), como na figura. A aranha anda pela superfície da lata até chegar à mosca, fazendo o caminho mais curto entre elas. Quantos centímetros a aranha anda pela superfície interna da lata?

Cilindro representando a lata com a aranha no ponto A na base externa e a mosca no ponto M na parte interna superior, diametralmente opostos em um plano longitudinal tracejado.

A
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B
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C
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D
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Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2015

Nível 3 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Uma lata cilíndrica, fechada embaixo e aberta na parte de cima, tem altura de 17 cm e sua borda é uma circunferência de comprimento 30 cm. Na superfície interna da lata, a 4 cm da borda superior, há uma mosca parada (ponto M). Na superfície externa da lata, a 1 cm da base e no mesmo plano que passa pela mosca e que divide a lata em duas partes iguais, encontra-se uma aranha (ponto A), como na figura. A aranha anda pela superfície da lata até chegar à mosca, fazendo o caminho mais curto entre elas. Quantos centímetros a aranha anda pela superfície interna da lata?

Cilindro representando a lata com a aranha no ponto A na base externa e a mosca no ponto M na parte interna superior, diametralmente opostos em um plano longitudinal tracejado.

A
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Solução oficial da OBMEP

Fazendo uma planificação da lateral do cilindro (abrindo-o sem distorções), cortando-o pela geratriz que passa pela aranha, teremos a seguinte situação:

[Figura: Planificação da superfície lateral da lata como um retângulo de altura 17\text{ cm} e base dividida em dois segmentos de 15\text{ cm}. Na lateral esquerda, a 1\text{ cm} da base, situa-se o ponto A. Uma linha vertical tracejada na metade do comprimento contém o ponto S (alinhado horizontalmente a A), o ponto M a 12\text{ cm} acima de S, o ponto R na borda superior da lata a 4\text{ cm} acima de M, e o ponto Q no prolongamento vertical externo a 4\text{ cm} acima de R. Um segmento tracejado liga A a Q, interceptando a borda superior no ponto P.]

O caminho de menor distância que a aranha deve seguir para capturar a mosca é o segmento AQ, sendo Q o refletido de M com relação à reta que corresponde à borda superior da lata. O problema pede que encontremos a distância ente os pontos P e M, pois esta é a distância percorrida pela aranha na superfície interna da lata. Como a distância de P a M é igual à distância de P a Q, pela semelhança dos triângulos AQS e PQR, vemos que PR = 3\text{ cm} (PR/15 = 4/20). Aplicando-se o Teorema de Pitágoras, vemos que a distância de P até Q é 5\text{ cm}.

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Resolução comentada

Desenrolando a superfície lateral da lata, ela vira um retângulo de altura 17 cm e largura 30 cm (o comprimento da circunferência). A aranha e a mosca estão em lados opostos do cilindro, no mesmo plano que passa pelo eixo, então a distância horizontal entre elas no retângulo é metade da circunferência: 30/2 = 15 cm.

O caminho passa pela borda superior, indo da superfície externa para a interna. Para tratar isso como uma reta, usamos a reflexão: a parte interna é "dobrada" para cima da borda, como se fosse a continuação da parede externa.

A aranha está a 1 cm da base, ou seja, a 17-1=16 cm da borda superior.
A mosca está a 4 cm da borda, do lado interno. Na reflexão, ela fica 4 cm acima da borda.
A distância vertical total entre A e a mosca refletida é 16+4=20 cm.
A distância horizontal é 15 cm.

O caminho mais curto é a hipotenusa:

\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{625}=25\ \text{cm}

Esse segmento é uma reta, e os catetos 15 e 20 estão na proporção 3:4. Cada 5 cm do percurso avança 3 cm na horizontal e 4 cm na vertical. Os 4 cm de altura acima da borda correspondem a \frac{4}{20} do percurso vertical, ou seja, \frac{4}{20}\cdot 25 = 5 cm de percurso.

Assim, a aranha anda 5 cm pela superfície interna.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana: os 4 cm são só a profundidade vertical da mosca, mas o caminho é diagonal e mede 5 cm nesse trecho.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhuma proporção do trajeto; o trecho interno é \frac{4}{20} de 25 cm, não 1 cm.
BValor sem base na semelhança de triângulos; ignora a hipotenusa de 25 cm.
CUsa só o cateto horizontal proporcional (3 por trecho de 5), confundindo catetos com o percurso.
DToma a altura de 4 cm da mosca como comprimento do caminho, esquecendo que o percurso é inclinado.

Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Cilindro.

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Questão 20 no caderno Nível 3 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 3. Prova oficial ↗