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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2008

Nível 3 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Em um jogo, Pedro lança uma moeda para decidir quantas casas avançar. Quando sai cara, ele avança uma casa; quando sai coroa, ele avança duas casas. O jogo acaba quando Pedro alcança ou ultrapassa a última casa. Faltam três casas para Pedro terminar o jogo. Qual é a probabilidade de que ele tire coroa em sua última jogada?

Ilustração de um menino jogando um jogo de tabuleiro no chão em forma de trilha, caminhando em direção à última casa marcada com "Fim".

  1. A
    \dfrac{7}{8}
  2. B
    \dfrac{5}{6}
  3. C
    \dfrac{2}{3}
  4. D
    \dfrac{5}{8}
  5. E
    \dfrac{3}{4}
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Resolução comentada

Resolução comentada

Faltam 3 casas. O jogo acaba quando Pedro alcança ou ultrapassa a última casa, então precisamos listar as sequências de jogadas possíveis e a probabilidade de cada uma. Cada lançamento tem probabilidade \frac12 para cara (C, avança 1) e \frac12 para coroa (K, avança 2).

Sequências até o fim do jogo (a última jogada está no final):

  1. CCC: avança 1+1+1 = 3, termina na casa exata. Última jogada: cara. Probabilidade \frac18.
  2. CCK: 1+1+2 = 4, ultrapassa. Última: coroa. Probabilidade \frac18.
  3. CK: 1+2 = 3, termina. Última: coroa. Probabilidade \frac14.
  4. KC: 2+1 = 3, termina. Última: cara. Probabilidade \frac14.
  5. KK: 2+2 = 4, ultrapassa. Última: coroa. Probabilidade \frac14.

Conferindo: \frac18+\frac18+\frac14+\frac14+\frac14 = 1.

As sequências que terminam em coroa são CCK, CK e KK:

\frac18+\frac14+\frac14=\frac58

Outra forma de ver: a última jogada é cara apenas em CCC e KC, com probabilidade \frac18+\frac14=\frac38. Logo, coroa tem 1-\frac38=\frac58.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que o jogo pode acabar antes de três jogadas e conta quase todas as sequências como terminando em coroa.
  • BNão corresponde a nenhuma soma de probabilidades das sequências possíveis; parece vir de contagem errada de casos igualmente prováveis.
  • CTrata os resultados finais como casos igualmente prováveis (2 de 3), sem ponderar pelas probabilidades de cada sequência.
  • ENão resulta da soma das sequências que terminam em coroa; é erro de soma ou de omissão de uma sequência.

Assunto: Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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Ver como caiu na prova Questão 20 no caderno Nível 3 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 3. Prova oficial ↗