Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2014

Question

Cada uma das cem pessoas de uma fila escolhe, ao acaso, um número de 1 a 20 e o escreve em um papel, mantendo esse número em segredo. Depois que todos escreveram, o primeiro da fila anuncia o seu número. Em seguida, o segundo da fila faz o mesmo, e assim sucessivamente. A primeira pessoa que anunciar um número igual a um número já anunciado ganha um prêmio.

Ilustração de diversas pessoas de diferentes idades em uma fila, muitas delas segurando papéis dobrados.

a) O primeiro da fila não tem chance de ganhar o prêmio. Qual é a posição da próxima pessoa da fila que também não tem chance alguma de ganhar o prêmio?

b) Qual é a probabilidade de que o terceiro da fila ganhe o prêmio?

c) Quem tem maior probabilidade de ganhar o prêmio: o sétimo da fila ou o oitavo? Justifique.

d) Em que posição ou posições da fila é maior a probabilidade de ganhar o prêmio? Justifique.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2014

Nível 3 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Cada uma das cem pessoas de uma fila escolhe, ao acaso, um número de 1 a 20 e o escreve em um papel, mantendo esse número em segredo. Depois que todos escreveram, o primeiro da fila anuncia o seu número. Em seguida, o segundo da fila faz o mesmo, e assim sucessivamente. A primeira pessoa que anunciar um número igual a um número já anunciado ganha um prêmio.

Ilustração de diversas pessoas de diferentes idades em uma fila, muitas delas segurando papéis dobrados.

a) O primeiro da fila não tem chance de ganhar o prêmio. Qual é a posição da próxima pessoa da fila que também não tem chance alguma de ganhar o prêmio?

b) Qual é a probabilidade de que o terceiro da fila ganhe o prêmio?

c) Quem tem maior probabilidade de ganhar o prêmio: o sétimo da fila ou o oitavo? Justifique.

d) Em que posição ou posições da fila é maior a probabilidade de ganhar o prêmio? Justifique.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) O 22º da fila, pois até o 21º teremos 21 cartõespara 20 números e podemos afirmar, pelo Princípio dasCasas dePombos, que haverá pelo menos dois cartões com o mesmo número, ou seja, o prêmio já terá saído.

b) Para que o terceiro ganhe, o segundo deve ter um número diferente do primeiro e o terceiro ter um número igual a um dos cartões dos dois primeiros:

P_3 = \frac{20\text{x}19\text{x}2}{20\text{x}20\text{x}20} = \frac{19}{200} = 9{,}5\%

c) Vamos calcular a fração P_8/P_7:

\frac{P_8}{P_7} = \frac{\frac{20\text{x}19\text{x}18\text{x}17\text{x}16\text{x}15\text{x}14\text{x}7}{20\text{x}20\text{x}20\text{x}20\text{x}20\text{x}20\text{x}20\text{x}20}}{\frac{20\text{x}19\text{x}18\text{x}17\text{x}16\text{x}15\text{x}6}{20\text{x}20\text{x}20\text{x}20\text{x}20\text{x}2020}} = \frac{\frac{14\text{x}7}{20}}{\frac{6}{1}} = \frac{98}{120} < 1

Logo P_8 < P_7.

d) Vamos calcular a fração P_{n+1}/P_n

\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{\frac{20\text{x}(19).(18)\dots[20-(n-2)].[20-(n-1)].\text{n}}{20.20.20\dots20.20}}{\frac{20\text{x}(19).(18)\dots[20-(n-3)].[20-(n-2)].(n-1)}{20\text{x}20\text{x}20\text{x}\dots.20}} = \frac{\frac{(21-n).\text{n}}{20}}{\frac{(n-1)}{1}} = \frac{21n - n^2}{20n - 20}

Vamos analisar agora a partir de qual n, maior do que 1, P_{n+1} fica menor que P_n, ou seja, \frac{P_{n+1}}{P_n} < 1

\frac{21n - n^2}{20n - 20} < 1 \Leftrightarrow 21n - n^2 < 20n - 20 \Leftrightarrow n^2 - n - 20 > 0 \Leftrightarrow n > 5 \Leftrightarrow n \ge 6

Logo, P_6 > P_7 > P_8 > \dots > P_{21}. Analogamente, P_{n+1} = P_n quando n^2 - n - 20 = 0, ou seja, quando n = 5. Logo P_5 = P_6 e P_{n+1} > P_n quando n^2 - n - 20 < 0, ou seja, quando n < 5. Logo, P_2 < P_3 < P_4 < P_5.

A maior probabilidade ocorre para os participantes nas posições 5 e 6.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Com 20 números possíveis, se as 20 primeiras pessoas disserem números todos diferentes, a 21ª repete algum número com certeza. Logo, alguém entre as 21 primeiras já terá ganhado, ou a 21ª ganha. A 21ª pode ganhar, então tem chance.

A 22ª pessoa só fala se as 21 primeiras não repetiram nenhum número, e isso é impossível (casas dos pombos). Ela nunca chega a ganhar.

A posição é a 22ª.

b) O terceiro ganha se o segundo não repetiu o primeiro e o terceiro repete um dos dois primeiros.

O segundo é diferente do primeiro: \frac{19}{20}.
O terceiro iguala um dos dois números já ditos: \frac{2}{20}.

P=\frac{19}{20}\cdot\frac{2}{20}=\frac{38}{400}=\frac{19}{200}

Probabilidade \frac{19}{200}=0{,}095.

c) A pessoa na posição k ganha se os k-1 primeiros números são todos distintos e o k-ésimo repete um deles:

p_k=A_{k-1}\cdot\frac{k-1}{20},\qquad A_n=\prod_{i=0}^{n-1}\left(1-\frac{i}{20}\right)

Aqui A_n é a probabilidade de os n primeiros serem todos distintos.

Para k=7: p_7=A_6\cdot\frac{6}{20}.

Para k=8: p_8=A_7\cdot\frac{7}{20}=A_6\cdot\frac{14}{20}\cdot\frac{7}{20}.

Dividindo:

\frac{p_8}{p_7}=\frac{14}{20}\cdot\frac{7}{6}=\frac{98}{120}=\frac{49}{60}<1

Portanto p_8<p_7.

O sétimo da fila tem maior probabilidade.

d) Vamos comparar posições vizinhas. Como A_k=A_{k-1}\cdot\frac{21-k}{20}, temos:

\frac{p_{k+1}}{p_k}=\frac{A_k\cdot\frac{k}{20}}{A_{k-1}\cdot\frac{k-1}{20}}=\frac{(21-k)\,k}{20\,(k-1)}

Essa razão é maior ou igual a 1 quando:

21k-k^2\ge 20k-20 \iff k^2-k-20\le 0 \iff (k-5)(k+4)\le 0 \iff k\le 5

Para k=2,3,4 a razão é maior que 1, então p_2<p_3<p_4<p_5.
Para k=5 a razão é exatamente \frac{16\cdot5}{20\cdot4}=1, então p_6=p_5.
Para k\ge 6 a razão é menor que 1, então p_6>p_7>p_8>\cdots

O máximo ocorre, portanto, em duas posições empatadas.

As posições 5 e 6 têm a maior probabilidade, iguais entre si.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Probabilidade: conceitos básicos.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2ª fase 2014 · Nível 3. Prova oficial ↗