Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2009

Resolução comentada

a) Há 1 cartão com o número 1, 2 com o número 2, e assim por diante, até 10 com o número 10. O total é a soma de 1 a 10:

55 cartões.

b) Para que três cartões não tenham o mesmo número, podemos pegar no máximo 2 cartões de cada número.

O número 1 tem um único cartão, então pegamos esse cartão. Para cada número de 2 a 10, existem pelo menos 2 cartões, então pegamos exatamente 2 de cada um.

A quantidade escolhida é 1+2\cdot 9=19.

Esse é o máximo possível sem três iguais, então 19 cartões é exatamente o que a questão pede. Escolha o cartão com o 1 e dois cartões de cada um dos números 2, 3, ..., 10.

c) Vamos pensar no pior caso, em que se retiram o máximo de cartões sem que cinco tenham o mesmo número. Isso significa pegar no máximo 4 de cada número.

• Números 1, 2, 3 e 4: só existem 1,2,3,4 cartões, e podemos pegar todos, o que dá 1+2+3+4=10 cartões.
• Números 5 a 10: pegamos 4 de cada, o que dá 6\cdot 4=24 cartões.

No pior caso, retiramos 10+24=34 cartões e ainda não há cinco iguais.

Ao retirar mais um cartão, o 35º, ele será de um número de 5 a 10 (os números 1 a 4 já saíram todos). Esse número passa a ter 5 cartões retirados. Logo, com 35 cartões a certeza está garantida, e com 34 não está.

35 cartões.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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