PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 do ITA 2026

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{z} : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x \in \mathbb{R} com a < x < b.

Considere a reta r : 3x + 4y = -15 e a parábola P : y = x^2 + x + 6 com vértice V. Seja t a reta tangente a P, que tem coeficiente angular negativo e forma um ângulo de 45^\circ com r. Sendo A o ponto de tangência de t a P e B o ponto de interseção de r e t, a área do triângulo ABV é

  1. A
    \frac{13}{500}.
  2. B
    \frac{25}{4}.
  3. C
    \frac{105}{8}.
  4. D
    \frac{147}{8}.
  5. E
    \frac{126}{5}.
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Resolução comentada

A reta r tem coeficiente angular m_r=-\frac{3}{4}. Uma reta t de coeficiente m forma 45^\circ com r quando \left|\frac{m-m_r}{1+m\,m_r}\right|=1.

  1. Caso \frac{m+3/4}{1-3m/4}=1: m+\frac34=1-\frac{3m}{4}, então \frac{7m}{4}=\frac14 e m=\frac17>0. Não serve.
  2. Caso \frac{m+3/4}{1-3m/4}=-1: m+\frac34=-1+\frac{3m}{4}, então \frac{m}{4}=-\frac74 e m=-7. Serve.

Tangência: a derivada de P é y'=2x+1. Igualando a -7, temos x=-4 e y=16-4+6=18. Logo A=(-4,18).

Reta t: y-18=-7(x+4), ou seja, y=-7x-10.

Ponto B (interseção de t com r): 3x+4(-7x-10)=-15, então -25x=25 e x=-1, y=-3. Logo B=(-1,-3).

Vértice: x_V=-\frac12 e y_V=\frac14-\frac12+6=\frac{23}{4}. Logo V=\left(-\frac12,\frac{23}{4}\right).

Área com o determinante, usando os vetores a partir de B:

  • A-B=(-3,21)
  • V-B=\left(\frac12,\frac{35}{4}\right)
\text{det}=(-3)\cdot\frac{35}{4}-21\cdot\frac12=-\frac{105}{4}-\frac{42}{4}=-\frac{147}{4}
\text{Área}=\frac12\cdot\frac{147}{4}=\frac{147}{8}

Alternativa D.

Pegadinha: A condição de 45^\circ gera duas retas, m=\frac17 e m=-7; é preciso escolher a de coeficiente negativo, senão chega-se a outra área.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o cálculo; não corresponde a nenhuma etapa correta.
  • BResulta de usar pontos errados, por exemplo a tangente com inclinação positiva ou um vértice incorreto.
  • CErro aritmético no determinante, como esquecer parte de um termo ao calcular a área.
  • EEsquece o fator \frac12 ou erra as coordenadas de algum ponto.

Assuntos: parábola e reta tangente, ângulo entre retas, área de triângulo.

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Fonte: ITA 2026 · 1ª fase. Prova oficial ↗