PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 do ITA 2026

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{z} : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x \in \mathbb{R} com a < x < b.

Sejam x, y \in\,]0, \pi/2[, satisfazendo o sistema de equações

\begin{cases} \tan(y) \tan\left(\dfrac{y}{2}\right) = \cos(2x) \sec(y), \\ \dfrac{\sen(y)}{\cos(x)} + \dfrac{\cos(x)}{\sen(y)} = 2. \end{cases}

O produto de todos os valores de x e y que resolvem esse sistema é

  1. A
    \dfrac{\pi^2}{24}.
  2. B
    \dfrac{\pi^4}{324}.
  3. C
    \dfrac{\pi^2}{50}.
  4. D
    \dfrac{\pi^2}{16}.
  5. E
    \dfrac{\pi^2}{18}.
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Resolução comentada

Segunda equação. Seja t=\dfrac{\sen y}{\cos x}>0. Então t+\dfrac1t=2, o que só vale para t=1. Logo \sen y=\cos x, e como x,y\in\,]0,\pi/2[, temos y=\dfrac{\pi}{2}-x.

Primeira equação. Use \tg y\,\tg\dfrac y2=\dfrac{\sen y}{\cos y}\cdot\dfrac{1-\cos y}{\sen y}=\dfrac{1-\cos y}{\cos y} (pois \tg\frac y2=\frac{1-\cos y}{\sen y}).

O lado direito é \dfrac{\cos 2x}{\cos y}. Multiplicando por \cos y\neq0:

1-\cos y=\cos 2x.

Substituição. Com y=\pi/2-x, temos \cos y=\sen x e \cos 2x=1-2\sen^2x:

  1. 1-\sen x=1-2\sen^2x
  2. 2\sen^2x-\sen x=0
  3. \sen x(2\sen x-1)=0

Como x\in\,]0,\pi/2[, \sen x\neq0, então \sen x=\dfrac12 e x=\dfrac{\pi}{6}. Daí y=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}.

A solução é única. O produto de x e y é

xy=\dfrac{\pi}{6}\cdot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi^2}{18}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhum produto de valores obtidos; resulta de erro na identidade ou na conta.
  • BValor com \pi^4 não decorre do produto de x e y, que é de grau 2 em \pi.
  • CNão corresponde ao produto de \pi/6 por \pi/3.
  • DSeria o produto com x=y=\pi/4, que não satisfaz a primeira equação.

Assuntos: trigonometria, equações trigonométricas, arco metade.

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Fonte: ITA 2026 · 1ª fase. Prova oficial ↗