PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 do ITA 2026

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{z} : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x \in \mathbb{R} com a < x < b.

Seja p(x) = x^3 + bx^2 + cx + d um polinômio com coeficientes reais. Se todas as raízes de p(x) são reais e, para todo x \in \mathbb{R},

p(2 + x) = -p(2 - x),

então o menor valor possível para p(0) é

  1. A
    -10.
  2. B
    -8.
  3. C
    -6.
  4. D
    -4.
  5. E
    -2.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A condição p(2+x) = -p(2-x) diz que o gráfico de p é simétrico em relação ao ponto (2,0). Em particular, para x=0: p(2) = -p(2), logo p(2)=0.

Assim, x=2 é raiz. Escrevendo q(t) = p(2+t), temos q(t) = t^3 + \alpha t^2 + \beta t + \gamma e a condição vira q(t) = -q(-t), ou seja, q é ímpar. Portanto \alpha = \gamma = 0:

p(2+t) = t^3 + \beta t = t(t^2+\beta).

As raízes são t=0 e t=\pm\sqrt{-\beta}. Para que todas sejam reais, é preciso \beta \le 0. Seja \beta = -k, com k \ge 0.

Calculando p(0), que corresponde a t=-2:

  1. p(0) = q(-2) = (-2)^3 + \beta(-2) = -8 - 2\beta.
  2. Com \beta = -k: p(0) = -8 + 2k.

Como k \ge 0, o menor valor ocorre em k=0, quando p(x) = (x-2)^3 (raiz tripla real, que é permitida). Então p(0) = -8.

Confirmando: p(x)=(x-2)^3 satisfaz p(2+x)=x^3 e -p(2-x) = -(-x)^3 = x^3. Vale.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor menor que o mínimo; exigiria k<0, o que geraria raízes não reais.
  • CExigiria k=1 com sinal errado; não é o mínimo, pois p(0)=-8+2k\ge -8.
  • DCorresponde a k=2, que é possível, mas não é o menor valor.
  • ECorresponde a k=3, possível, mas não é o menor valor.

Assuntos: polinômios, simetria de funções, raízes reais.

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Fonte: ITA 2026 · 1ª fase. Prova oficial ↗