PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 do ITA 2026

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{z} : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x \in \mathbb{R} com a < x < b.

Considere as matrizes

A = \begin{bmatrix} \sqrt{3}/2 & -1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} \sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 \end{bmatrix}.

A matriz A^{31} \times B é igual a

  1. A
    \begin{bmatrix} -\dfrac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3} - 1) \\[1em] -\dfrac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{3}) \end{bmatrix}.
  2. B
    \begin{bmatrix} -\dfrac{\sqrt{2}}{4}(1 - \sqrt{3}) \\[1em] -\dfrac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{3}) \end{bmatrix}.
  3. C
    \begin{bmatrix} \dfrac{1 - \sqrt{6}}{2\sqrt{2}} \\[1em] \dfrac{1 + \sqrt{6}}{2\sqrt{2}} \end{bmatrix}.
  4. D
    \begin{bmatrix} \dfrac{\sqrt{6} - 1}{2\sqrt{2}} \\[1em] \dfrac{1 + \sqrt{6}}{2\sqrt{2}} \end{bmatrix}.
  5. E
    nenhuma das alternativas anteriores.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A matriz A tem a forma de uma matriz de rotação: \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sen\theta\\ \sen\theta & \cos\theta\end{bmatrix} com \cos\theta=\sqrt3/2 e \sen\theta=1/2, ou seja, \theta=30^\circ. Elevar A à potência n equivale a rotacionar n vezes, então A^{n} é a rotação de n\cdot 30^\circ.

  1. A^{31} é a rotação de 31\cdot 30^\circ=930^\circ.
  2. Reduzindo: 930^\circ-720^\circ=210^\circ.
  3. B=\begin{bmatrix}\sqrt2/2\\ \sqrt2/2\end{bmatrix} é o vetor unitário a 45^\circ.
  4. A^{31}B é o vetor unitário a 45^\circ+210^\circ=255^\circ.

Calculando as coordenadas:

\cos 255^\circ=-\cos75^\circ=-\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4},\qquad \sen255^\circ=-\sen75^\circ=-\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.

Fatorando \sqrt2/4:

\cos255^\circ=-\frac{\sqrt2}{4}(\sqrt3-1),\qquad \sen255^\circ=-\frac{\sqrt2}{4}(\sqrt3+1).

Isso coincide com o vetor da alternativa A: primeira entrada -\frac{\sqrt2}{4}(\sqrt3-1) e segunda -\frac{\sqrt2}{4}(1+\sqrt3).

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BA primeira entrada tem sinal trocado: -(1-\sqrt3)=\sqrt3-1 é positiva, mas \cos255^\circ é negativa.
  • CTem módulo diferente de 1 e entradas de sinais opostos, incompatíveis com um ângulo de 255^\circ (cosseno e seno negativos).
  • DEntradas positivas e de módulo maior que 1, impossível para um vetor unitário no terceiro quadrante.
  • EExiste alternativa correta, a A.

Assuntos: matriz de rotação, potência de matrizes, trigonometria.

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Fonte: ITA 2026 · 1ª fase. Prova oficial ↗