PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 do ITA 2026

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{z} : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x \in \mathbb{R} com a < x < b.

Uma circunferência é dividida em seis partes iguais pelos pontos A, B, C, D, E, F, designados nessa ordem. Os pontos A, C, E são vértices de um triângulo equilátero, os pontos B, D, F são vértices de um segundo triângulo equilátero. A sobreposição desses dois triângulos define uma estrela de seis pontas denominada hexagrama. Se a área desse hexagrama é 25\sqrt{3}\ \text{cm}^2, então a área do quadrado inscrito na circunferência mede

  1. A
    10\ \text{cm}^2.
  2. B
    25\ \text{cm}^2.
  3. C
    40\ \text{cm}^2.
  4. D
    50\ \text{cm}^2.
  5. E
    75\ \text{cm}^2.
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Resolução comentada

Seja R o raio da circunferência. O hexagrama é a união dos dois triângulos equiláteros inscritos, cada um com lado R\sqrt{3}.

  1. Área de um triângulo equilátero inscrito: \dfrac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}.

  2. A interseção dos dois triângulos é um hexágono regular. Os lados dos triângulos ficam divididos em 3 partes iguais pelos pontos de cruzamento, então cada triângulo equivale a 9 triangulinhos equiláteros iguais de lado \dfrac{R\sqrt{3}}{3}.

  3. O hexagrama é formado por 12 desses triangulinhos: 6 do hexágono central e 6 das pontas.

  4. Cada triangulinho vale \dfrac{1}{9} do triângulo grande. Então o hexagrama vale:

    \frac{12}{9}\cdot\frac{3\sqrt{3}R^2}{4}=\sqrt{3}R^2

  5. Igualando a 25\sqrt{3}: R^2=25, logo R=5\ \text{cm}.

  6. O quadrado inscrito tem diagonal 2R=10 cm. Sua área é \dfrac{d^2}{2}=\dfrac{100}{2}=50\ \text{cm}^2.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa o raio ou o diâmetro como se fosse a área, sem elevar ao quadrado corretamente.
  • BToma R^2=25 como área do quadrado, esquecendo que a área é 2R^2.
  • CNão corresponde a nenhum cálculo correto; resulta de erro na área do hexagrama ou do quadrado.
  • EConfunde com a área 3R^2, que vem de usar a área de um só triângulo ou do hexágono de forma errada.

Assuntos: áreas de polígonos regulares, hexagrama, quadrado inscrito.

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Fonte: ITA 2026 · 1ª fase. Prova oficial ↗