PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 do ITA 2026

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{z} : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x \in \mathbb{R} com a < x < b.

Os vértices de um polígono são todos os números complexos não nulos que satisfazem a equação

iz^2 = 2\bar{z}.

A área desse polígono é

  1. A
    \sqrt{3}.
  2. B
    2\sqrt{3}.
  3. C
    3\sqrt{3}.
  4. D
    4\sqrt{3}.
  5. E
    5\sqrt{3}.
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Resolução comentada

Escreva z=r(\cos\theta + i\,\sen\theta) com r>0 (z não nulo). Então \bar z = r(\cos\theta - i\,\sen\theta) e i=\cos 90^\circ + i\,\sen 90^\circ.

  1. Módulos: |iz^2| = r^2 e |2\bar z| = 2r, logo r^2=2r, ou seja, r=2.

  2. Argumentos: o argumento de iz^2 é 90^\circ+2\theta e o de 2\bar z é -\theta. Igualando (a menos de voltas completas): 90^\circ+2\theta=-\theta+360^\circ k, então 3\theta=-90^\circ+360^\circ k e \theta=-30^\circ+120^\circ k.

  3. Para k=0,1,2: \theta=-30^\circ,\ 90^\circ,\ 210^\circ. São três pontos sobre a circunferência de raio 2, espaçados de 120^\circ: um triângulo equilátero inscrito.

  4. Lado do triângulo inscrito: \ell=r\sqrt3=2\sqrt3. Área:

A=\frac{\ell^2\sqrt3}{4}=\frac{12\sqrt3}{4}=3\sqrt3.

Conferindo com z=2i: iz^2=i\cdot(-4)=-4i e 2\bar z=2(-2i)=-4i. ✓

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÁrea muito pequena; corresponde a um triângulo equilátero de lado 2 (raio errado).
  • BConfunde o lado 2\sqrt3 com a área, ou erra a fórmula da área.
  • DNão corresponde a nenhuma conta correta com raio 2 e três vértices.
  • ENão corresponde a nenhuma conta correta com raio 2 e três vértices.

Assuntos: números complexos, forma polar, polígonos regulares.

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Fonte: ITA 2026 · 1ª fase. Prova oficial ↗