PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 do ITA 2026

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{z} : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x \in \mathbb{R} com a < x < b.

Seja A a matriz de ordem 100 \times 100, cujos elementos são descritos pela equação

a_{ij} = 1 + (1 - i)(1 - j).

Considere as seguintes afirmações:

I. A é uma matriz simétrica.

II. Cada linha da matriz A forma uma progressão aritmética.

III. A é uma matriz singular.

É (São) VERDADEIRA(S):

  1. A
    Apenas I.
  2. B
    Apenas II.
  3. C
    Apenas I e II.
  4. D
    Apenas I e III.
  5. E
    I, II e III.
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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmação usando a_{ij} = 1 + (1-i)(1-j).

I. A matriz é simétrica se a_{ij}=a_{ji}. Trocando i por j, obtemos 1+(1-j)(1-i), que é igual ao original, pois a multiplicação é comutativa. Verdadeira.

II. Fixe a linha i. Os elementos são a_{ij} = 1 + (1-i)(1-j) = 1 + (1-i) - (1-i)j = (2-i) + (i-1)j.

Como função de j, isso é do tipo b + rj, com razão r = i-1 constante. Logo, cada linha é uma PA (na linha 1 a razão é 0, uma PA constante). Verdadeira.

III. Uma matriz é singular se seu determinante é zero. Escrevendo a_{ij} = 1 + (1-i)(1-j), temos A = u u^T + v v^T, com u = vetor de 1's e v_i = 1-i. Assim, A é soma de duas matrizes de posto 1, e seu posto é no máximo 2.

Como A é 100\times100, o posto é menor que 100, então \det A = 0.

Outra forma de ver: pela afirmação II, cada linha é (2-i)\cdot(1,1,\dots) + (i-1)\cdot(1,2,\dots), ou seja, combinação de dois vetores fixos. Assim, as linhas são linearmente dependentes. Verdadeira.

As três afirmações são verdadeiras.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que as linhas são PAs e que o posto é no máximo 2, então só reconhece a simetria.
  • BReconhece a PA nas linhas, mas ignora a simetria, que decorre da comutatividade do produto.
  • CAceita I e II, mas não percebe que o posto é no máximo 2, logo o determinante é nulo.
  • DAceita I e III, mas rejeita II, embora cada linha seja PA de razão i-1.

Assuntos: matrizes, determinante e posto, progressão aritmética.

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Fonte: ITA 2026 · 1ª fase. Prova oficial ↗