PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 do ITA 2026

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{z} : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x \in \mathbb{R} com a < x < b.

Usando os valores aproximados

\log_{45} 13{,}72 = 0{,}6880,
\log_{45} 6125 = 2{,}2908,

a alternativa que mais aproxima a representação decimal de \log_{45} 7 é

  1. A
    0{,}4886.
  2. B
    0{,}5112 .
  3. C
    0{,}5193.
  4. D
    0{,}5224 .
  5. E
    0{,}5385.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A ideia é escrever os números dados como produtos de potências de 7 e 5, para montar um sistema com as incógnitas a=\log_{45}7 e b=\log_{45}5.\n\nFatorando:\n\n- 13{,}72=\dfrac{1372}{100}=\dfrac{2^2\cdot 7^3}{2^2\cdot 5^2}=\dfrac{7^3}{5^2}\n- 6125=5^3\cdot 7^2\n\nAplicando as propriedades do logaritmo (log do quociente e log do produto), obtém-se o sistema:\n\n

\begin{cases}3a-2b=0{,}6880\\\\ 2a+3b=2{,}2908\end{cases}
\n\nPara eliminar b:\n\n1. Multiplique a primeira equação por 3: 9a-6b=2{,}0640.\n2. Multiplique a segunda por 2: 4a+6b=4{,}5816.\n3. Some as duas: 13a=6{,}6456.\n4. Divida: a=\dfrac{6{,}6456}{13}=0{,}5112.\n\nPortanto \log_{45}7\approx 0{,}5112.\n\nAlternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o sistema; resulta de erro de conta ao combinar as equações.
  • CAparece se a eliminação de b for feita com coeficientes errados, sem chegar a 13a=6{,}6456.
  • DValor próximo, mas de uma fatoração ou soma incorreta das equações.
  • EIgnora parte do sistema e usa só uma das equações com aproximação grosseira.

Assuntos: logaritmos, propriedades do logaritmo, sistema linear.

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Fonte: ITA 2026 · 1ª fase. Prova oficial ↗