PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 do ITA 2026

1ª fase · Matemática

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{z} : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x \in \mathbb{R} com a < x < b.

Sejam z, w \in \mathbb{C} tais que z - w = -2\sqrt{3} e w \neq 0. Se z tem módulo 2\sqrt{3}, e w tem argumento \pi/6, então a parte real de z é igual a

  1. A
    -2\sqrt{3}.
  2. B
    -\sqrt{3}.
  3. C
    0.
  4. D
    \sqrt{3}.
  5. E
    2\sqrt{3}.
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Resolução comentada

Escreva w = r(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sen\frac{\pi}{6}) = r\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right), com r = |w| > 0 (pois w \neq 0).

Da condição z - w = -2\sqrt{3}, vem z = w - 2\sqrt{3}. Então:

z = \left(\frac{r\sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{3}\right) + \frac{r}{2}\,i

O módulo de z é 2\sqrt{3}, logo |z|^2 = 12:

  1. \left(\frac{r\sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{3}\right)^2 = \frac{3r^2}{4} - 6r + 12.
  2. \left(\frac{r}{2}\right)^2 = \frac{r^2}{4}.
  3. Somando: r^2 - 6r + 12 = 12, ou seja, r(r - 6) = 0.

Como r \neq 0, temos r = 6.

Assim, w = 6\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) = 3\sqrt{3} + 3i.

Portanto z = w - 2\sqrt{3} = \sqrt{3} + 3i.

Conferindo: |z|^2 = 3 + 9 = 12, de modo que |z| = 2\sqrt{3}. ✓

A parte real de z é \sqrt{3}.

Alternativa D.

Pegadinha: A raiz r=0 da equação é descartada por w\neq0; sem isso, z=-2\sqrt{3} (alternativa A) pareceria possível.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÉ o valor de z - w dado no enunciado, e não a parte real de z.
  • BErro de sinal ou de conta ao calcular \frac{r\sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{3}, que com r=6 dá +\sqrt{3}.
  • CCorresponde a r=4, que não satisfaz |z|=2\sqrt{3} (daria |z|=2).
  • EConfunde a parte real de z com seu módulo, que vale 2\sqrt{3}.

Assuntos: números complexos, forma polar, módulo e argumento.

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Fonte: ITA 2026 · 1ª fase. Prova oficial ↗